W toku wielu poprzednich spotkań organizowanych przez naszą Komisję, w związku z różnymi zagadnieniami, pojawiały się także problemy trudności i błędów w uczeniu się matematyki w ich różnych aspektach. Dzisiaj koncentrujemy naszą uwagę właśnie na błędzie w matematyce szkolnej, błędzie traktowanym jako główny przedmiot naszych rozważań. Przystępujemy więc do globalnego studium, które powinno nam umożliwić lepsze rozumienie błędu z punktu widzenia jego funkcjonowania w procesie uczenia się i nauczania matematyki. Zrozumieć lepiej błąd w matematyce - to podstawowy cel naszej wspólnej pracy.
Oczywiście nie zaczynamy od zera. Przeciwnie, różne problemy związane z błędami jako istotnymi i nieuniknionymi składnikami ludzkiej działalności były od czasów starożytnych wszechstronnie analizowane w ramach filozofii, psychologii, pedagogiki, prakseologii , historii nauk. Zakres tych analiz i badań jest tak rozległy i ich wyniki tak bogate, te nie jest już możliwe opanowanie indywidualną wiedzą tego, co już zostało wypracowane. Mamy więc tu ogromną szansę wzbogacenia tej wiedzy. Wydaje mi się jednak, że równie ważne jest przyjęcie za punkt wyjścia naszych własnych doświadczeń i obserwacji dokonanych w toku osobistych kontaktów z uczniami i nauczycielami. I nie chodzi tu tylko o prace prowadzone z dokładnością i poprawnością metodologiczną. Mamy nadzieję, że skorzystamy wiele z prezentacji takich prac. Ale nie powinniśmy lekceważyć skromniejszych obserwacji. Czasem jeden fakt, jeden przykład, pozornie izolowany, nawet pozornie dziwaczny, odbija się nagłym błyskiem w naszej pedagogicznej intuicji i może nas skierować w stronę problemów istotnie ważnych.
I z tego punktu widzenia mamy duże szanse. Pracujemy w krajach, w których struktury instytucji szkolnych, programy nauczania, nawet koncepcje matematycznego kształcenia, i warunki ich realizacji, mentalność, kultura, status ekonomiczny, historia społeczeństwa, są bardzo zróżnicowane. Jeżeli pewne zjawiska, które nas tu interesuję, występują wszędzie niezależnie od tych różnic, to te zjawiska zasługują z naszej strony na szczególna uwagę. Ich istnienie świadczy o specyficznym charakterze matematyki jako przedmiotu uczenia się, który - być może - nie jest jeszcze dobrze uwzględniany w naszej pedagogice. Z drugiej strony szczególnie instruktywne są zjawiska, które wydają się być konsekwencjami specyficznych sytuacji. Na podstawie zarówno tej zgodności faktów, jak i ich różnorodności, możemy zbliżyć się do tego, co jest istotne: zrozumieć lepiej błąd w świetle jego wielowymiarowej analizy.
Od czasów starożytnych błąd jest traktowany nie tylko jako składnik naturalny, nieunikniony ludzkiej aktywności (errare humanum est), ale nawet jako składnik pozytywny, instruktywny rozwoju wiedzy, uczenia się, twórczości (errando discimus). Bład nie powinien być więc uważany za nieszczęście, za katastrofę, ani dla tego, kto się uczy, ani dla tego, kto uczy. Dlaczego więc jest inaczej w warunkach szkolnych? Szukając odpowiedzi na to pytanie, powinniśmy - między innymi - głęboko zastanowić się nad charakterem matematyki jako przedmiotu uczenia się i nauczania. Niezależnie od zewnętrznej organizacji uczenia się matematyki, nawet w sytuacji, gdy ta organizacja jest luźna, szeroko otwarta na rozwój spontaniczny, a priori nie planowany, matematyka jako przedmiot uczenia się zachowuje swą organizację wewnętrzną. Jest to dziedzina pojęciowo zorganizowana przez samą siebie tak, że pozornie drobna luka w rozumieniu lub wiedzy łatwo może sprowokować następne nieporozumienia, narastające jedne na drugich, które uzewnętrzniają się w lawinie błędów, trudnej do zatrzymania. Mała pomyłka rachunkowa może zamienić proste ćwiczenie w trudny problem. Uczeń zabłąkany w takich komplikacjach wpada w różne zasadzki, popełnia błędy. Aktywność matematyczna wymaga szczególnej uwagi, ciągłego wysiłku autokontroli, umiejętności posługiwania się specyficznymi technikami takiej autokontroli, których nie dopracował się jeszcze debiutant w matematycznej aktywności. Język matematyki na każdym poziomie uczenia się stwarza możliwości nieporozumień i niebezpieczeństwo oderwania tego języka od jego semantycznych znaczeń. Proces uczenia się - nauczania matematyki wymaga - między innymi - przezwyciężania różnych sprzeczności, na przykład tej, która przeciwstawia konieczność automatycznego opanowania algorytmów konieczności stałego rozwoju myślenia niealgorytmicznego, lub ogólniej tej, która przeciwstawia sprawność w stosowaniu procedur jasnej świadomości faktów, lub tej, która przeciwstawia naturalne myślenie dnia codziennego myśleniu mniej lub więcej formalnemu, opartemu na konwencjach często dla uczniów sztucznych.
Na poziomie słownikowym definiuje się błąd odwołując się do "prawdy" lub "rzeczywistości", lub z punktu widzenia prakseologicznego do "celu" działania. Ale, jakaż jest ta prawda, którą gwałci dziecko rachując 3 + 2·7 = 5·7 = 35 ? Oczywiście tylko konwencja, wcale nie naturalna dla tych, którzy przywykli czytać inne teksty od strony lewej ku prawej. Ale czy tak częsty błąd, pozornie podobny, 3x+2y = 5xy - to tylko niezachowanie konwencji? O jaką prawdę, o jaką rzeczywistość tu chodzi?
Oczywiście proces uczenia się - nauczania matematyki ma swe głębokie źródła w rzeczywistościach, w których żyje i działa uczeń: rzeczywistości biologicznej, fizycznej, socjalnej, ekonomicznej, kulturalnej... Od tych rzeczywistości się wychodzi i do nich ciągle powraca. Te rzeczywistości łączą się, przenikają równocześnie. Natomiast uczenie się matematyki przebiega - między innymi - w przechodzeniu z jednej rzeczywistości matematycznej do następnej z przekraczaniem i pokonywaniem mniej lub więcej trudnych progów pojęciowych. Przejście ze świata liczb naturalnych, tak bardzo bliskiego dziecku, do bogatego świata liczb jest radykalną zmianę matematycznej rzeczywistości. Mnogościowa organizacja geometrycznej przestrzeni jest także radykalną zmianę pierwotnej rzeczywistości euklidesowej. Dziecko nie ujmuje kwadratu jako nieskończonego zbioru punktów. Ujmuje kwadrat globalnie jako formę przestrzenna. Nauczanie zmienia tę naturalna rzeczywistość w nowa rzeczywistość. Niektóre obserwacje prowadzone w klasach liceum, zwanych "uniwersyteckimi" (przeznaczonych dla uczniów uzdolnionych do matematyki), pokazują, ile zasadzek, prowokujących błędy, stwarza mnogościowa organizacja euklidesowej przestrzeni, nawet dla uczniów tak przecież zdolnych. Wiele osób, nie tylko uczniów, oswojonych już dobrze z mnogościowymi operacjami w geometrii , rozwiązuje błędnie zadanie sformułowane w podręczniku szkolnym w rozdziale poświęconym twierdzeniu Talesa i własnościom jednokładności, ponieważ globalna wizja euklidesowa hamuje lokalną analizę mnogościową. Oto to zadanie: Odejmuje się od trójkąta ABC trójkąty AA1A2" BB1B2, CC1C2 jednokładne do trójkąta ABC w stosunku 1/3 odpowiednio względem punktów A, B, C. Czy figura powstała w wyniku tej operacji ma środek symetrii? Odpowiedź jest najczęściej pozytywna, wskazuje się natychmiast środek symetrii , co jest fałszywe w płaszczyźnie zorganizowanej mnogościowo, natomiast poprawne w klasycznej euklidesowskiej rzeczywistości. Z tego ostatniego bowiem punktu widzenia to, co zostaje po odjęciu (w sensie euklidesowskim) trzech trójkątów, jest sześciokątem mającym środek symetrii . Z punktu widzenia mnogościowego natomiast (odejmowanie mnogościowe) otrzymana figura nie jest sześciokątem i nie ma środka symetrii.
Profilaktyka w stosunku do nieporozumień i błędów w uczeniu się matematyki jest skierowana od tego, co się dzieje w klasie dziś, do tego, co może stad wynikać w przyszłości; terapia natomiast od tego, co się dzieje dziś, do tego, co się działo przedtem. Ażeby "wyleczyć z błędu" trzeba wiedzieć, czego ten błąd jest symptomem i jakie są jego źródła. Istotny błąd w matematyce (a więc nie chwilowa tylko pomyłka) nie jest izolowany od innych błędów. Błędy mające te same korzenie tworzą całe rodziny, nawet rodziny ustrukturowane. Studium takiej rodziny umożliwia często wykrycie korzeni błędu, co jest bardzo trudne, gdy zajmujemy się pojedynczym błędem w izolacji od innych. Terapii błędu nie należy identyfikować z jego pozorna eliminacja. Obserwacja szkolnej rzeczywistości ujawnia jednak, że w wyniku takiej pozornej eliminacji (zakazy, nakazy - uczeń nie popełnia danego błędu, ale nadal nie rozumie istoty rzeczy) rodzę się nowe nieporozumienia i błędy. Mam nadzieję, że przedyskutujemy szerzej te problemy, opierając się na badaniach prowadzonych w różnych sytuacjach matematycznych.
Stawia się nam w programie konferencji pytania, dotyczące klasyfikacji błędów. Nie są to tylko pytania akademickie. Należałoby zresztą mówić raczej o typologii niż o klasyfikacji błędów. Można próby takiej typologii podejmować z różnych punktów widzenia. Ale rozważając te zagadnienia z punktu widzenia profilaktyki i terapii błędów nie powinniśmy pominąć typologii najprostszej - moim zdaniem - ważnej. Nie można bowiem wrzucać do tego samego worka pojęciowego, z jednej strony postaw i zachowań ucznia, który mówi lub pisze byle co, bo nie interesuje go rozwiązanie problemu, chwilowych pomyłek, wywołanych brakiem uwagi, błędów wynikających z luk w wiedzy, które mogą być łatwo poprawione przez samego ucznia, gdy pozostawi mu się czas na refleksję lub uzupełnienie wiadomości, wniosków opartych na lekkomyślnym zgadywaniu itp., z drugiej zaś strony świadomego rozumowania logicznie niepoprawnego, oraz błędów ujawniających głęboko zakorzenione fałszywe koncepcje, których uczeń nawet z uporem broni, jeżeli mu na to pozwalamy. Oczywiście reakcja nauczyciela w tych dwóch różnych sytuacjach musi być zupełnie różna. To stwierdzenie jest banalne - to prawda. Ale podkreślam bardzo mocno, że ta banalna zasada pedagogiczna nie zawsze jest realizowana w praktyce szkolnej. Aby odróżnić, pomyłkę od istotnego błędu trzeba mieć czas, trzeba traktować każdego ucznia indywidualnie, i co najważniejsze, trzeba aby uczeń miał do nauczyciela pełne zaufanie, trzeba wyeliminować strach przed błędem. To wszystko jest bardzo trudne w przepełnionych klasach, przy programach obowiązujących i przeciążonych treściami, nie dostosowanych do możliwości średniego ucznia. W takich sytuacjach błąd staje się katastrofę zarówno dla ucznia, jak i dla nauczyciela. Nasi uczniowie popełniają wiele błędów z powodu nieuwagi i braku autokontroli. W jakim sensie można mówić o profilaktyce i terapii w stosunku do takich błędów? Oczywiście matematyczna aktywność wymaga stosowania różnych specyficznych zabiegów autokontroli. Te techniki zresztą są ściśle związane z wielostronnym rozumieniem matematycznej dziedziny tej aktywności. Czy w nauczaniu matematyki uczymy opanowania takich technik autokontroli? Czy ten problem jest rzeczywiście uwzględniany w dydaktycznej teorii? Nasi uczniowie popełniają wiele błędów typu prakseologicznego. Tego zagadnienia nie wyróżniono w programie obecnej konferencji, ale zasługuje ono na nasza uwagę i dyskusję. Błędy tego typu prowadzą bowiem również do błędów matematycznie istotnych. Psychologicznie jest to zrozumiałe, że uczeń zabłąkany w komplikacjach będących konsekwencję braku porządku prakseologicznego w rozwiązywaniu zadania zaczyna także popełniać błędy matematyczne. Wypada mi na koniec uczynić pewną uwagę dla uniknięcia nieporozumień. Nie sądzę, aby matematyka była przedmiotem trudniejszym od innych przedmiotów nauczania. Przeciwnie, uważam, że w niektórych dziedzinach uczenia się napotyka się trudności większe niż w uczeniu się matematyki. Ale w tych dziedzinach często wiele nieporozumień nie zostaje ujawnionych tak wyraźnie, jak w toku uczenia się matematyki. Pozostają one w ukryciu za barierą werbalizmu. Chcę natomiast tylko podkreślić, że w naszych badaniach trzeba ciągle myśleć z jednej strony o specyfice matematyki jako przedmiotu uczenia się, z drugiej zaś o szkolnej rzeczywistości takiej, jaka jest ona naprawdę, a nie w postulatach pedagogicznej teorii.
* Przemówienie wygłoszone w toku inauguracji konferencji zorganizowanej przez Międzynarodową Komisję do Studiowania i Ulepszania Nauczania Matematyki w Sherbrooke w dniach od 27 lipca do 1 sierpnia 1987 roku (przekład z języka francuskiego).