Jerzy Szczęsny

Dziwny kwantowy świat

Część III. Amplitudy prawdopodobieństwa i komputery kwantowe

Amplitudę prawdopodobieństwa przejścia ze stanu do stanu oznaczamy symbolem . Jest to pewna liczba zespolona, której kwadrat modułu jest równy prawdopodobieństwu przejścia . Oto reguły rządzące amplitudami prawdopodobieństwa:

Reguła I. Załóżmy, że istnieje kilka nieodróżnialnych fizycznie sposobów przejścia obiektu kwantowego ze stanu wyjściowego w stan końcowy . w tym przypadku wypadkowa amplituda przejścia jest sumą amplitud, odpowiadającym różnym sposobom przejścia: , gdzie indeks k oznacza k-ty sposób przejścia.

To, że drogi przejścia są fizycznie nieodróżnialne oznacza, iż nie pozostawiają one żadnych śladów w środowisku, w którym przebiega proces kwantowy, a zatem w żaden sposób nie można ustalić szczegółów przebiegu tego procesu.

Reguła II. Załóżmy, że istnieje kilka stanów końcowych , i że wyznaczamy prawdopodobieństwo przejścia do dowolnego z tych stanów. w tym przypadku wypadkowe prawdopodobieństwa przejścia, które oznaczymy przez , jest sumą prawdopodobieństw przejść do różnych stanów końcowych: . Stany końcowe są rozróżnialne po odpowiednim wzmocnieniu do poziomu klasycznego, pozostawiają one ślady klasycznie rozróżnialne.

Reguła III. Załóżmy, że przejście ze stanu do stanu odbywa się poprzez pewien stan pośredni . Wówczas musimy znać amplitudy kolejnych przejść, tzn. amplitudy i  amplituda wypadkowa w tym przypadku jest iloczynem wspomnianych amplitud. Innymi słowy, jeśli przejście można rozbić na kolejne etapy, to amplituda przejścia jest wyrażona przez iloczyn amplitud poszczególnych etapów. z reguł i i III już intuicyjnie korzystaliśmy.

Reguła IV. Załóżmy, że mamy do czynienia z dwoma niezależnymi obiektami kwantowymi. Niech jeden obiekt kwantowy dokonuje przejścia i równocześnie niech drugi obiekt dokonuje przejścia . w tym przypadku wypadkowa amplituda przejścia, którą oznaczamy przez , jest iloczynem amplitud przejścia poszczególnych obiektów kwantowych, tzn.: .

Zwróćmy uwagę, że dotyczące amplitud reguły II, III i IV mają taką samą postać formalną jak odpowiednie zasady, które formułuje się w odniesieniu do prawdopodobieństw. Reguła II odpowiada twierdzeniu o dodawaniu prawdopodobieństw, reguły III i IV odpowiadają twierdzeniu o mnożeniu prawdopodobieństw. Niezwykła jest reguła I, którą nazywamy regułą Feynmana. w pewnym sensie właśnie na niej zbudowany jest cały system pojęć QM.

Załóżmy teraz, że przejście obiektu kwantowego ze stanu początkowego do końcowego odbywa się za każdym razem przez jeden ze stanów pośrednich ,..., lecz nie staramy się odpowiedzieć na pytanie, przez który konkretnie stan pośredni ono następuje. w tym przypadku każdy ze sposobów przejścia jest określony przez to, który ze stanów pośrednich uczestniczy w danym przejściu.

Rozważmy sytuację, gdy jest możliwe ustalenie, przez jaki konkretnie stan pośredni nastąpiło przejście, tzn. przejście przez każdy stan pośredni zostawia teraz pewien ślad w środowisku, w którym zachodzi proces kwantowy i ślad ten można wzmocnić do poziomu klasycznego. Jest to przypadek alternatyw rozróżnialnych fizycznie. Do jego opisu należy połączyć regułę II i III. Gdy tego dokonamy, zauważymy, że wypadkowe prawdopodobieństwo ma postać: .

Jeżeli nie jest możliwe ustalenie, przez który stan pośredni nastąpiło przejście (co oznacza, że każde takie przejście nie pozostawia żadnych śladów w środowisku), wówczas mamy do czynienia z tzw. przypadkiem alternatyw nieodróżnialnych. Aby opisać ten przypadek należy zastosować łącznie reguły i i III. Gdy tego dokonamy, zauważymy, że teraz wypadkowa amplituda prawdopodobieństwa ma postać: .

Ten wynik jest charakterystyczny dla QM. Mówimy wtedy o interferencji amplitud przejścia przez różne stany pośrednie. Podkreślmy, że interferencja jest możliwa tylko wówczas, gdy odpowiadające danemu doświadczeniu alternatywy są fizycznie nieodróżnialne. Zatem prawdopodobieństwo przejścia tym razem ma postać: .

Różnica między przypadkami alternatyw rozróżnialnych i nierozróżnialnych fizycznie jest widoczna, gdy porównamy odpowiednie prawdopodobieństwa. W pierwszym przypadku dodają się prawdopodobieństwa alternatyw, w drugim amplitudy prawdopodobieństwa alternatyw.

Znikanie interferencji amplitud przy „kontrolowaniu” zachowania obiektu kwantowego

Zastosujemy teraz ogólne reguły, określające sposoby posługiwania się amplitudami prawdopodobieństwa, do opisu przebiegu kolejnego doświadczenia. Schemat tego eksperymentu przedstawia rysunek 1. Z₁, Z₂ – zwykłe zwierciadła, P₁, P₂ – zwierciadła półprzepuszczalne.

Rys. 1 Eksperyment z dwoma szczelinami. Fotony „śledzą” ruch elektronów.

Na rys. 1 s jest źródłem elektronów, S jest źródłem fotonów, D₁, D₂ są detektorami fotonów, które rejestrują dwa różne stany końcowe fotonów rozproszonych w pobliżu szczelin a i B przez elektron. Początkowo będziemy zakładać, że fotony rozproszone w pobliżu dowolnej szczeliny mogą zostać zarejestrowane zarówno przez detektor D₁ jak i D₂ (co odpowiada zastosowaniu promieniowania o dostatecznie dużej długości fali). w tym przypadku fotony nie kontrolują całkowicie przechodzenia elektronów przez przegrodę ze szczelinami. Wprowadźmy następujące oznaczenia dla amplitud przejścia dla elektronów: , i dla fotonów , , gdzie skorzystaliśmy z symetrii dotyczącej dróg fotonów, prawdopodobieństwa równoczesnego przejścia elektronu ze źródła do punktu x na ekranie, i przejścia fotonu ze stanu do detektora D₁, tzn. do stanu |D›, jest równa: . Pierwszy składnik sumy odpowiada sytuacji, gdy elektron dociera do szczeliny A, rozprasza foton do detektora D,₁i wędruje do punktu x na ekranie, drugi składnik opisuje sytuację, w której elektron dociera do szczeliny B, rozprasza foton do detektora D,₁ i wędruje do punktu x na ekranie.

Prawdopodobieństwo rejestracji elektronu w punkcie x, niezależnie od tego, gdzie został zarejestrowany foton |{x|s}|² , zgodnie z regułą II, ma postać: dodajemy kwadraty modułów odpowiednich amplitud, gdyż rejestracja fotonu przez detektory D,₁ albo D,₂, to zdarzenia makroskopowo rozróżnialne).

Całkowite prawdopodobieństwo przejścia elektronu jest sumą dwóch składników. Pierwszym z nich jest pomnożona przez suma prawdopodobieństw przejścia przez obie szczeliny A i B każdej z osobna. Drugi składnik ma charakter interferencyjny. To ten składnik powoduje, że obserwuje się interferencyjny rozkład trafień elektronów na ekranie. a zatem, dopóki fotony nie kontrolują sposobu, w jaki elektrony przechodzą przez przegrodę ze szczelinami, obserwowany jest efekt interferencyjny. Jak pamiętamy w rozważanym przykładzie założyliśmy, iż promieniowanie posiada dostatecznie dużą długość fali. Zacznijmy teraz zmniejszać długość fali fotonów. Przy tym będzie maleć prawdopodobieństwo trafienia fotonu rozproszonego do detektora znajdującego się po przeciwnej stronie szczeliny, przy której dochodzi do rozproszenia na elektronie. Oznacza to, że wraz ze zmniejszaniem długości fali promieniowania maleć będzie amplituda , a to z kolei spowoduje, że człon opisujący interferencję będzie coraz mniejszy. w rezultacie obraz interferencyjny obserwowany na ekranie będzie zanikał.

Przy odpowiednio małej długości fal promieniowania możliwa jest dokładna kontrola nad przechodzeniem elektronu przez szczeliny. w tym granicznym przypadku rozproszone fotony będą trafiać jedynie do tego detektora, który znajduje się w pobliżu szczeliny, przy której nastąpiło rozproszenie – będzie wówczas znikać amplituda i prawdopodobieństwo rejestracji elektronu w punkcie x, niezależnie od tego, który detektor zarejestrował foton tym razem ma postać: . Tak, więc kontrola nad przechodzeniem elektronu przez szczeliny prowadzi do znikania interferencji amplitud.

Rozważając ten problem widzimy, że zagadnienie rozróżnialności alternatyw jest dość subtelne – oprócz całkowitej rozróżnialności, z którą mamy do czynienia, gdy , i całkowitej nierozróżnialności istnieje całe widmo sytuacji pośrednich, którym odpowiada częściowa rozróżnialność. z całkowitą nierozróżnialnością amplitud mamy do czynienia, gdy prawdopodobieństwa, że foton trafi do detektora leżącego blisko szczeliny, jest takie samo jak to, że trafi do detektora leżącego po przeciwnej stronie szczeliny, przy której rozproszył go foton.

Tak więc rozróżnialność i nierozróżnialność amplitud prawdopodobieństwa nie są bynajmniej dyskretne. Całkowita nierozróżnialność w sposób ciągły przechodzi w całkowitą rozróżnialność. Nierozróżnialność jest równoważna ze spójnością (koherentnością) zjawisk kwantowych.

Komputery kwantowe

Komputer kwantowy jest przykładem urządzenia kwantowego. Stany dowolnego urządzenia kwantowego są opisywane przez wektory stanu, z których można tworzyć kombinacje liniowe (superpozycje). Możliwość ta nosi również nazwę koherentności. Czasowa ewolucja wektora stanu takiego urządzenia jest opisywana przez równanie Schrödingera. Wiemy już, że zasady fizyki klasycznej i kwantowej są radykalnie różne i dlatego można oczekiwać, że urządzenia, dla których obowiązuje zasada kwantowej koherentności, będą się zasadniczo różnić od ich klasycznych analogonów. z praktycznego punktu widzenia niezwykle ważna jest odpowiedź na pytanie, czy ta odmienność oznacza, że urządzenia kwantowe mają jakieś przewagi nad ich klasycznymi odpowiednikami.

Na podstawie naszego przykładu z wykrywaniem nieuszkodzonych bomb możemy podejrzewać, że odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Rzeczywiście okazuje się, że można np. skonstruować kwantowe linie przekazu informacji, które są doskonale tajne tzn., że nie można ich „podsłuchiwać”. Jak wynika z rozważań teoretycznych, komputery kwantowe posiadają istotne przewagi nad komputerami klasycznymi (tzn. tymi, którymi się teraz posługujemy i w których zachodzą procesy klasyczne), gdyż mogą rozwiązywać problemy nierozwiązywalne dla komputerów klasycznych.

Skonstruowanie efektywnie działającego komputera kwantowego jest związane z przezwyciężeniem wielu trudności natury technologicznej i z pokonaniem skutków tzw. dekoherencji. Otóż koherentność (spójność) ewoluującego, w komputerze kwantowym stanu, jest niszczona przez nieusuwalne zaburzenia zewnętrzne – jest to problem, z którym musimy sobie poradzić, gdyż właśnie koherentność jest podstawą potężnych mocy obliczeniowych komputerów kwantowych.

Komputer kwantowy jest urządzeniem, które wykonuje operacje (realizuje zaprogramowany algorytm), na ciągu tzw. kubitów. Kubit jest kwantowym odpowiednikiem bitu. w charakterze kubitu możemy wybrać dowolny układ kwantowy z dwoma stanami scharakteryzowanymi przez wektory stanu |0› i |1›. Stan |0› nazywamy stanem podstawowym kubitu, stan to stan wzbudzony. Schemat idealnego komputera kwantowego przedstawiam na rys. 2.

Rozważany przez nas komputer kwantowy nazywamy jest idealnym, ponieważ jego stany są koherentne. Oznacza to, że komputer nie oddziałuje z otoczeniem generującym szumy naruszające spójność wektora stanu komputera (czyli zakładamy, że można pominąć dekoherencję) a poza tym, że w komputerze idealnym sygnały zewnętrzne realizują dokładne sterowanie.

Rys. 2 Schemat komputera kwantowego

Wektor stanu rejestru kwantowego złożonego z n kubitów jest superpozycją 2ⁿ bazowych wektorów stanu |i₁, i₂,...i_n›, gdzie i₁, i₂,...i_n={0,1} tzn. .

Powyższa superpozycja jest wektorem w wymiarowej przestrzeni wektorowej. Wszelkie informacje o stanie komputera kwantowego zakodowane są w wektorze . Wszystko, czego można dokonać z układem, sprowadza się do przekształcenia początkowego wektora stanu w pewien stan końcowy przy pomocy operacji Û: .

Wygodnie jest tak przygotować stan początkowy, aby wszystkie kubity były w stanie podstawowym |0›. Algorytm rozwiązania problemu jest zawarty w operacji Û. Klasyczna informacja o rozwiązaniu problemu zawarta jest w stanie końcowym , i wydobywamy ją dokonując pomiaru na kubitach.

Aby rozwiązać problem na komputerze kwantowym należy: przygotować odpowiednią liczbę kubitów, sprowadzić je do stanów podstawowych, sterować ich ewolucją kwantową tak, aby zrealizować operację Û i wykonać pomiar stanu kubitów opisywanych przez wektor .

Zauważmy, że dowolny stan komputera kwantowego jest superpozycją 2ⁿ stanów bazowych, zatem ograniczona liczba kubitów (cząstek, czyli zasobów fi zycznych) np. n = 1000, tworzy wykładniczo duży (2¹⁰⁰⁰ ≈ 10³⁰⁰) zasób informatyczny, którym dysponuje komputer kwantowy. Właśnie stąd wynikają podstawowe przewagi komputera kwantowego nad klasycznym.

Konsekwencją zasady superpozycji jest 2ⁿ- krotny kwantowy paralelizm obliczeń. w istocie zmiana stanu tylko jednego kubitu zmienia natychmiast całą superpozycję składającą się z 2ⁿ składników. Tymczasem rejestr n-bitowy komputera klasycznego zawsze występuje tylko w jednym spośród 2ⁿ stanów możliwych. Stan rejestru klasycznego jest jednowymiarowy. Zmiana stanu jednego bitu przeprowadza rejestr w inny jednowymiarowy, blisko leżący stan. Zasoby informatyczne komputera klasycznego są wykładniczo małe w porównaniu z zasobami komputera kwantowego.

Cała informacja o rozwiązywanym problemie i o algorytmie, który go rozwiązuje jest zawarta w operacji . Wektor stanu końcowego zawiera z kolei informację o rozwiązaniu problemu. Informację te można otrzymać wykonując pomiar na każdym z n kubitów komputera kwantowego znajdującego się w stanie . Wykonując taki pomiar otrzymamy jedną z możliwych wartości (i₁, i₂,...,i_n) z prawdopodobieństwem |c_{i1, i2,...,in}|². w rzeczywistości tylko jedna szczególna wartość K=(k₁, k₂,...k_n) jest rozwiązaniem – pozostałe są błędne. Aby idea komputera kwantowego miała realne znaczenie algorytm kwantowy Û powinien prowadzić do takiego stanu końcowego , że prawdopodobieństwo znalezienia poprawnego rozwiązania p_K=|c_{k1, k2,...,kn}|²≈1, natomiast suma prawdopodobieństw otrzymania wszystkich błędnych odpowiedzi jest bardzo mała. Wszystkie algorytmy kwantowe, jakie dotychczas opracowano, posiadają omówioną własność. Sterowanie komputerem kwantowym polega na (kontrolowanym przy pomocy komputera klasycznego) zmienianiu w sposób ciągły współczynników c_{i1, i2,...,in}(t), w celu otrzymania pożądanego stanu końcowego. a zatem algorytm kwantowy sprowadza się do umiejętnego manipulowania amplitudami prawdopodobieństwa.

Konstrukcją odpowiednich algorytmów kwantowych zajmują się specjaliści znający zarówno informatykę, jak i mechanikę kwantową. Najbardziej znanymi algorytmami kwantowymi są: algorytm Grovera, służący do przeszukiwania ogromnych baz danych oraz algorytm Shora, dzięki któremu można rozkładać na czynniki pierwsze ogromne liczby naturalne. Znajomość takich rozkładów jest podstawą bezpiecznego szyfrowania informacji.

W 1981 r. Richard Feynman pokazał, że ewolucja stanów nawet niezbyt złożonych układów kwantowych przebiega tak szybko, że żaden klasyczny komputer nie może jej symulować na tyle szybko, aby dzięki temu można było przewidzieć zachowanie takiego układu. Komputery kwantowe mogą w efektywny sposób symulować ewolucję układów kwantowych. Pojawienie się pierwszych żywych organizmów na Ziemi (np. wirusów) to na pewno wynik ewolucji kwantowej, gdyż wówczas podstawową rolę odgrywały oddziaływania między atomami i molekułami. Można, więc mieć uzasadnioną nadzieję, że z chwilą, gdy przezwyciężymy problemy natury technicznej, które wiążą się między innymi z wyizolowaniem odpowiedniej liczby kubitów, wyjaśnimy tajemnicę początków życia.

Jerzy Szczęsny

Literatura

R. P. Feynman, R. B. M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, tom III: Mechanika kwantowa, Warszawa 1974.
R. P. Feynman, QED osobliwa teoria światła i materii, 1992.
G. J. Milburn, Inżynieria kwantowa, Warszawa 1999.
G. J. Milburn, Procesor Feynmana, Warszawa 2000.
R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Warszawa, 1997.
R. Penrose, Nowy umysł cesarza. o komputerach, umyśle i prawach fizyki, Warszawa 1995.
R. Penrose, Cienie umysłu. Poszukiwanie naukowej teorii świadomości, Poznań 2000.
I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, wyd. 4 popr. i zm., Warszawa 2001.
Duch w atomie. Dyskusja o paradoksach teorii kwantowej. Oprac. P.C.W. Davies i J.R. Brown, Warszawa 1996.
I. Prigogine, Kres pewności. Czas, chaos i nowe prawa natury, Warszawa 2000.
G. Zukav, Tańczący mistrzowie Wu Li. Spojrzenie na nową fizykę, Poznań 1995.
I. W. Tarassow, Podstawy mechaniki kwantowej, Warszawa 1984.
J. J. Sławianowski, Przyczynowość w mechanice kwantowej, Warszawa 1969.
T. Bigaj, Kwanty, liczby, abstrakty. Eseje popularne z filozofi i nauki, Warszawa 2002.