Nauka 

Adam Płocki

Stochastyka jako matematyka in statu nascendi

Wystąpienie na uroczystości przyznania doktoratu honoris causa Uniwersytetu Jana Evangelisty Purkyné w Usti nad Łabą, Teatr Opery i Baletu w Usti nad Łabš, 16 czerwca 2005 r.

M agnificence, Magnificences, Spectabiles, Professores et Doctores, Cives academici! Jego Magnificencjo, Wysoki Senacie, Panowie Dziekani. Szanowni goście. Drodzy Przyjaciele z Polski!

Nie ukrywam ogromnej tremy i ogromnego wzruszenia. I nie dlatego, że przyszło mi  występować w teatrze, na  scenie.

Prof. A. Płocki

Republika Czeska jest mi bliska od  kołyski. Przyszedłem na świat w ubiegłym stuleciu w polskich Beskidach, zaledwie 15 km od  granicy z Czechami. To była więc bliskość w  sensie geometrycznym. W sensie uczuciowym i  zawodowym ta bliskość narodziła się 30 lat później, gdy po raz pierwszy w życiu mogłem tę granicę przekroczyć.

Matematykiem zostałem przypadkowo i to dzięki wojsku. Marzyłem od dziecka, by  zostać artystą. Na Akademii Sztuk Pięknych o  jedno miejsce walczyło wtedy 12 kandydatów. Aby nie pójść do wojska, wybrałem matematykę i  uczelnię, w której szanse na studiowanie były bliskie 1.

Także przypadkowo moją specjalnością naukową stał się rachunek prawdopodobieństwa jako "matematyka o przypadku”. Gdy na IV roku studiów wybierano seminarium magisterskie, ja byłem na rajdzie turystycznym. Gdy zeń wróciłem, wolne miejsce było tylko na seminarium z rachunku prawdopodobieństwa. Tak spotkałem na swej życiowej drodze stochastykę (tak nazywa się dziś fuzję rachunku prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej i kombinatoryki) a wraz z nią swojego Mistrza, profesora Jana Burzyńskiego, któremu zawdzięczam wszystko, co potem udało mi się dokonać. (Gdy po latach zostałem kierownikiem Katedry Stochastyki, w oficjalnych pismach długo tkwił adres: Katedra Scholastyki).

Praca magisterska i doktorska (obie napisane pod kierunkiem mojego Mistrza) dotyczyły aplikacji teorii prawdopodobieństwa do genetyki. Byłem wtedy „czystym matematykiem” - tak mówi się (nie tylko w Polsce) o matematykach zajmujących się wyłącznie teorią.

W tym czasie do programów powszechnego kształcenia w Polsce włączono elementy rachunku prawdopodobieństwa. Pracowałem w uczelni kształcącej nauczycieli matematyki, uznano więc, że powinienem zająć się nauczaniem stochastyki. Tak do moich badań naukowych wkroczyła dydaktyka matematyki, tak rozpoczęły się moje kontakty ze szkołą (średnią i podstawową).

Na temat nauczania matematyki wypowiada się dziś prawie każdy matematyk (choć w szkole był ostatni raz jako uczeń). Bardzo często, mówiąc o nauczaniu matematyki, myśli on o jej wykładaniu. Nauczanie matematyki bywa zbyt często uczeniem technik rachunkowych.

Po doktoracie z rachunku prawdopodobieństwa uważałem się za specjalistę od nauczania. Pałac Młodzieży w Krakowie zlecił mi wtedy zajęcia pozalekcyjne z rachunku prawdopodobieństwa dla uczniów szkół średnich. To był rok 1975. Na moje pierwsze zajęcia przyszła setka uczniów, za tydzień połowa z tego. W trzecim tygodniu zjawiło się już tylko 15 uczniów. O tym fakcie (trudno go nazwać miłym) opowiedziałem mojemu Mistrzowi, a Mistrz rzekł: - „Są dwa typy uczonych. Pierwsi, stojąc przed audytorium, prawą ręką piszą na tablicy, lewą ścierają to, co napisali, sugerując słuchaczom: zobaczcie, jaki to ja jestem mądry! I są drudzy, którzy z pokorą, stojąc pod tablicą, mówią: zobaczcie, jakie to jest proste i piękne. Którym z nich był pan, panie kolego?” - zapytał mój Mistrz. Niestety, byłem tym, który prawą ręką pisał, a lewą ścierał.

O moim Mistrzu w zakresie stochastyki już wspomniałem. Moim mistrzem w zakresie dydaktyki matematyki była prof. Zofia Krygowska, kierująca Katedrą Dydaktyki Matematyki. Z jej inicjatywy zająłem się problemami stochastycznego kształcenia w ramach „matematyki dla każdego” (stając się mniej „czystym” matematykiem). O krakowskiej szkole dydaktyki matematyki mówiło się wtedy w całej Europie. To w Krakowie rodziły się koncepcje nie tyle nauczania matematyki, ile kształcenia matematycznego i kształcenia poprzez matematykę.

Matematyka rozumiana jest w dwojakim sensie: albo jako szczególna działalność intelektualna, albo jako teoria, która jest rezultatem tej działalności. W drugim znaczeniu matematyki, jej nauczanie jest prezentacją gotowego produktu, jest informacją naukową. W  znaczeniu pierwszym, nauczanie jest kreowaniem matematyki, a więc odkrywaniem jej pojęć, twierdzeń i metod przez ucznia, jest formowaniem nauki. W tym ujęciu nauczanie prezentuje matematykę in statu nascendi.

Nauczyciel jest aranżerem, reżyserem i organizatorem procesu badawczego, a nie wykładowcą i kontrolerem. Nauczanie oparte na tej metodzie genetycznej dydaktyka matematyki nazywa nauczaniem aktywnym.

Twórcami takiej „filozofi i” nauczania matematyki byli Felix Klein, George Polya, Hans Reudenthal, Abram Stoljar, Jean Piaget, a przede wszystkim Zofia Krygowska. Te krakowskie idee nauczania aktywnego trafiły także na ziemie czeskie i to bez wątpienia za pośrednictwem profesora Jana Melichara z Usti (który był wtedy w Krakowie na stażu naukowym u profesor Krygowskiej) i profesora Františka Kuřiny z Hradec Kralove. Obaj są do dziś, „ambasadorami” krakowskiej szkoły dydaktyki matematyki w Czechach.

Od 30 lat przedmiotem moich badań naukowych jest adaptacja idei nauczania aktywnego na grunt stochastyki oraz stochastyczny aspekt kształcenia matematycznego na różnych poziomach tego nauczania (od wczesnoszkolnego, poprzez gimnazjum, szkołę średnią, aż po uczelnię kształcącą nauczyciela matematyki). Jest to nowe zagadnienie, przed którym stanęła dydaktyka matematyki w końcu ubiegłego wieku. Przedmiotem badań są cele i zadania oraz treści i metody kształcenia stochastycznego, ale (co podkreślam z naciskiem) w ramach, „matematyki dla każdego”, a więc odpowiedzi na pytania:

- Dlaczego elementy stochastyki można i dlaczego należy wprowadzać do „matematyki dla każdego”? Dlaczego powinniśmy uczyć stochastyki? (cele nauczania i motywacje);

- Kogo chcemy uczyć i od kiedy możemy to robić? (obiekt nauczania);

- Czego powinniśmy uczyć z rachunku prawdopodobieństwa a czego ze statystyki matematycznej? Jakie stochastyczne kompetencje są (lub wkrótce będą) potrzebne człowiekowi oraz jakie treści mogą wpływać na rozwój jego matematycznej, ale również ogólnej kultury? (treści nauczania);

- Jak uczyć tej niełatwej dziedziny matematyki? (metody nauczania).

Te problemy zainspirowały kolejne pytanie:

- Jak przygotowywać nauczyciela matematyki i studenta sekcji nauczycielskiej do nauczania stochastyki w szkole?

Matematyka nie jest lubianym przedmiotem. Zauważmy, jak często znani ludzie (aktorzy, pisarze, piosenkarze), chcąc podkreślić, jakimi wielkimi są humanistami, oznajmiają (i to z dumą!), że z matematyką w szkole zawsze mieli ogromne kłopoty, że na maturze ściągali, że do dziś nie potrafi ą pomnożyć 7 przez 9. Dlaczego ta matematyczna indolencja ich nobilituje w oczach społeczeństwa? Czyż nie jest temu winny sposób nauczania matematyki? Uczymy matematyki, czy raczej uczymy rachunków? Dlaczego szkolne lekcje utwierdzają ludzi w przekonaniu (i kompleksach), że dla prawdziwego humanisty matematyka jest nie do pojęcia? Nie bez wpływu na ten obraz matematyki pozostaje sposób jej prezentowania (wykładania) studentowi sekcji nauczycielskiej.

Matematyka to są nie tylko rachunki i dedukcja. Matematyka to specyficzny sposób opisywania otaczającego nas świata, a więc również schematyzacja i matematyzacja. Matematyka to także odkrywanie oraz uzasadnianie analogii i izomorfizmów, to wnioskowanie przez analogie i symetrie.

Rachunek prawdopodobieństwa jest wykładany na uniwersytetach jako gotowa teoria aksjomatyczna. W podobny sposób zaczęto go prezentować na lekcjach w szkole. I ten fakt stał się jedną z głównych przyczyn niepowodzeń pierwszych koncepcji nauczania. Stochastyka jest osobliwym działem matematyki. Oprócz definicji i twierdzeń stochastyka ma także swoją metodologię. Chodzi o specyficzne wnioskowania dotyczące weryfikacji hipotez, podejmowania decyzji, oceny ryzyka i szans, oceny oczekiwanych zysków, strat itd. Uniwersytecki wykład na ogół pomija tę metodologię. W pytaniu o metody nauczania stochastyki chodzi o dydaktyczne zabiegi umożliwiające dotarcie zarówno z aparatem pojęciowym, jak i ze wspomnianą metodologią do wszystkich uczniów i na każdym poziomie powszechnego kształcenia (także na poziomie wszesnoszkolnym).

Mówi się o niskiej kulturze matematycznej naszego społeczeństwa.

Kulturę geometryczną, czy arytmetyczną rozwijamy (lepiej lub gorzej) na szkolnych lekcjach od stuleci. Dziś należy także mówić o stochastycznej kulturze, którą powinny rozwijać lekcje matematyki. Ta stochastyczna kultura społeczeństwa jest wyjątkowo niska. O tym, jak złe są nasze stochastyczne intuicje, świadczą liczne błędy popełniane przy formułowaniu wniosków dotyczących prawdopodobieństwa a sugerowanych przez nasze intuicje.

Zajęcia ze stochastyki w grupie 50 studentów tradycyjnie rozpoczynam od zakładu. Twierdzę mianowicie, że są wśród nich, co najmniej dwaj obchodzący wspólnie urodziny. Wszystkim się zdaje, że ja takiego zakładu wygrać nie mogę. Tymczasem jeszcze nigdy takiego zakładu nie przegrałem. - „Ale ma pan szczęście!” - mówią studenci, gdy ów zakład wygrywam. Mój sukces nie jest kwestią szczęścia. Z prawdopodobieństwem bliskim 1 (a więc praktycznie na pewno!) w grupie 50 osób są dwie obchodzące wspólnie urodziny. Ten fakt jest dla wszystkich sporym zaskoczeniem. Ale ten fakt kreuje pytanie, jak to wytłumaczyć na gruncie matematyki. Tak rodzi się matematyczne zadanie w kontekście refleksji a posteriori.

Moje badania dotyczyły stochastyki jako przedmiotu nauczania aktywnego, a więc rozumianego jako produkowanie wiedzy, a nie jej reprodukowanie, jako proces odkrywania pojęć i metod w ścisłym powiązaniu z realnym światem, w którym uczeń żyje i działa. Matematyczne myślenie ukierunkowane jest na stawianie pytań, formułowanie hipotez, ich weryfikacje już dostępnymi środkami, bądź właśnie w tym celu odkrywanymi. Stochastyka staje się matematyką w stadium tworzenia. Prawdopodobieństwo pojawia się w kontekście oceny ryzyka i szans, ale także szczęścia i pecha (szczęście i pech stają się treścią matematycznego zadania!), w kontekście podejmowania decyzji, wyłaniania optymalnych strategii. Tym samym przedmiotem moich badań stały się zagadnienia z psychologii ludzkich zachowań.

W tym dydaktycznym ujęciu stochastyka jest nie tylko osobliwą teorią matematyczną, ale przede wszystkim jest matematyką, która stwarza szczególne możliwości zarówno w zakresie kształcenia matematycznego, jak i ogólnego. Podkreślam tu niedoceniany aktualnie wychowawczy walor stochastyki. Nierzadko uczniowie słabi w matematyce zupełnie dobrze radzą sobie na lekcjach stochastyki. Ta dziedzina matematyki może im przywracać wiarę w możliwości uczenia się matematyki. Paradoksy odkrywane w licznych zadaniach uczą pewnego krytycyzmu w stosunku do sądów wypowiadanych pochopnie.

W moich badaniach dotyczących stochastycznego kształcenia wyróżniają się trzy zasadnicze nurty zagadnień:

1. Treść i forma zadań oraz ich rola w matematycznym odkryciu i w matematycznej aktywizacji. Formułowanie, atakowanie i rozwiązywanie zadań stochastycznych ukazuję jako szeroko rozumianą twórczość matematyczną.

2. Matematyzacja jako szczególna aktywność matematyczna, rozpoczynająca proces rozwiązywania pozamatematycznych problemów na gruncie rachunku prawdopodobieństwa (matematyzacja jako pierwsza faza procesu stosowania matematyki).

3. Stochastyczne paradoksy, ich natura, a przede wszystkim ich rola w matematycznej aktywizacji, w kształtowaniu pojęć i w rozwijaniu intuicji stochastycznych jako ważnego aspektu stochastycznej kultury.

Jest to więc w ujęciu badań dydaktycznych morfologiczna analiza stochastyki jako przedmiotu nauczania. Kształcenie w zakresie stochastyki realizuje się poprzez ukazywanie, co się matematyzuje, jak się matematyzuje i dlaczego się to robi (stochastyka daje ku temu dobre okazje i możliwości).

Podam jeden przykład z mojej pracy, jak rodzą się autentyczne zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Na każdy egzamin przygotowuję dla studentów zestaw pytań. Przed kilkoma laty w tym zestawie było ich 50. Na egzaminie zadaję studentowi jedno z nich i student oznajmia, że nie zna na nie odpowiedzi. Z pozostałych 49 pytań wybieram jedno i student mówi: - „Ale pan ma szczęście, to są jedyne dwa pytania, na które nie zdążyłem się przygotować! - Tym samym ma pan wielkiego pecha!” - odpowiadam. Szczęście to, czy pech? Zauważmy, że o szczęściu albo pechu mówimy wtedy, gdy zdarzy się coś, co jest wyjątkowo mało prawdopodobne, co jest praktycznie niemożliwe. Jeśli zaszło zdarzenie praktycznie niemożliwe i to zajście jest dla nas miłe, to mówimy o szczęściu, jeśli to zajście jest wyjątkowo niesympatyczne, to mówimy o pechu. Podejdźmy do pytania inaczej. A może są podstawy do tego, aby kwestionować prawdomówność tego studenta? Postawmy hipotezę, że student mówi prawdę. Jeśli na to, co się stało, spojrzymy oczami matematyki (a więc niejako „przez matematyczne okulary”), to zbiór 50 pytań jest urną, w której są dwie kule czerwone (to dwa pytania, na które student nie zna odpowiedzi) i 48 białych (to są pozostałe pytania). Pytania, które postawiłem studentowi, są dwiema kulami wylosowanymi z tej urny. Losując dwie kule z tej urny trafiłem na obie kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych z takiej urny jest ułamkiem 1:1225, a więc jest wyjątkowo małe. Wylosowanie dwóch czerwonych kul z takiej urny jest praktycznie niemożliwe. Są zatem podstawy, aby kwestionować hipotezę. Mamy prawo twierdzić, że w tej urnie jest więcej kul czerwonych (że pytań, na które student nie zna odpowiedzi jest więcej niż dwa).

Ta autentyczna sytuacja z mojej praktyki ilustruje pewną „filozofię” problemów i zadań w komentowanej tu koncepcji stochastyki „dla każdego”. Wierzę, że ten przykład zrozumiał każdy humanista, także i ten, który do tej pory chlubił się, że matematyki nie rozumie i zrozumieć nie jest w stanie. Bo jest przecież humanistą!

Taką koncepcję stochastyki dla każdego przedstawiłem moim czeskim przyjaciołom w monografii Pravdépodobnost kolem nás. Počet pravdépodobnosti v úlohách a problémech, wydanej w roku 2001 w serii Acta Universitatis Purkynianae 68, Studia Mathematica IV (Ústi nad Labem 2001).

Prezentowane ujęcie stochastyki dla nauczyciela i szkoły powstawało i było weryfikowane w trakcie prowadzonych przez 30 lat wykładów, ćwiczeń i seminariów ze stochastyki w uczelni kształcącej nauczycieli, w trakcie osobiście prowadzonych lekcji w szkole oraz w trakcie moich kontaktów naukowych z ośrodkami zagranicznymi. I tu chciałem podkreślić ogromną rolę, jaką w moim życiu i w mojej pracy naukowej odegrała współpraca z czeskimi uczelniami, a zwłaszcza z usteckim Uniwersytetem. W zbiorze moich naukowych publikacji artykuły i książki w języku czeskim stanowią podzbiór o dużej mocy (w matematyce moc zbioru jest liczbą jego elementów). Z przerwami przyjeżdżam do Was już od 30 lat. Od lat 15, co rok, tradycyjnie w grudniu przyjeżdżam do Usti z całą walizką szyfrowych zamków, ruletek i kostek (a więc z pokaźną częścią mojego stochastycznego laboratorium), aby zaprezentować Waszym studentom stochastykę jako matematykę ciekawą i zrozumiałą dla każdego (i zarazem matematykę, w której prawie nie ma rachunków). Coroczne wykłady zarówno przy ul. České Mladeže (dla studentów matematyki), jak i na Hořeni 13 (dla studentów nauczania początkowego), są dla mnie najsympatyczniejszym akcentem tych wizyt. Studentki nauczania początkowego na Hořeni, oglądając po wykładzie moją walizkę z przyrządami losującymi, stwierdziły, że jest to „10 kilogramów matematyki z ludzką twarzą”. I to była najsympatyczniejsza recenzja wykładu, który tam wygłosiłem.

Od 10 lat uczestniczę (wraz z grupą moich młodych matematyków) w prawie wszystkich konferencjach z dydaktyki matematyki organizowanych w Republice Czeskiej. W wielu z nich mam zaszczyt uczestniczyć w radzie naukowej. To dzięki tym kontaktom w krakowskiej Akademii Pedagogicznej pracuje grupa (myślę, że dobrych) „ambasadorów” Republiki Czeskiej w Polsce. Słynne Czesko-Polskie Szkoły Matematyki organizowane przez Wasz Uniwersytet umożliwiły nam prezentacje swojego dorobku naukowego w zakresie „czystej” matematyki i w zakresie dydaktyki matematyki.

Dziękuję Profesorom: Janowi Melicharowi, Jiřimu Cihlařovi, Tomašovi Zdrahalovi, Janovi Kopkovi i pozostałym matematykom z usteckiego Uniwersytetu za te kontakty, za ciekawe dyskusje o matematyce i jej nauczaniu, które toczyły się przy tylu okazjach tu, w Usti nad Łabą, i u nas w Krakowie nad Wisłą. Ufam, że matematycy, których przed chwilą wymieniłem, potwierdzą fakt, że mój gabinet na krakowskiej Akademii Pedagogicznej jest (nieoficjalnym) konsulatem Republiki Czeskiej w Krakowie. Potwierdzą to także Wasze studentki, które u nas w Krakowie studiowały w ostatnim roku i do tego „konsulatu” wpadały często.

Dziękuję władzom usteckiej Alma Mater, a więc Rektorowi, Prorektorom, Panu Dziekanowi i Wysokiemu Senatowi za wyróżnienie, jakim mnie zaszczycono. Traktuję je jako miłe zobowiązanie do kontynuowania współpracy z Waszym (od dziś także i moim!) Uniwersytetem.

PS.
Jest to bez wątpienia jeden z najsympatyczniejszych dni mojego życia. Mojej Małżonce i rodzinie oraz władzom mojej krakowskiej Alma Mater: Prorektorowi, Panu Profesorowi Eugeniuszowi Wachnickiemu i Dziekanowi Wydziału Matematyczno-Fizyczno-Technicznego, Panu Profesorowi Markowi Cezaremu Zdunowi dziękuję za to, że jesteście tu ze mną.

Adam Płocki