Teorie fizyki 

Jerzy Szczęsny

Dziwny kwantowy świat

Część I. Interferencja amplitud prawdopodobieństwa

Teoria kwantowa powstała w pierwszym ćwierćwieczu XX w. dzięki wysiłkom tych fizyków, którzy próbowali wyjaśnić istotne różnice między przewidywaniami fizyki klasycznej a tym, co obserwowali w rzeczywistości. Wielu osobom z teorią kwantów kojarzy się jedynie niejasne pojęcie „zasady nieoznaczoności”, rzekomo uniemożliwiającej ścisły opis cząstek, atomów i molekuł, a pozwalającej przewidywać ich zachowanie jedynie w probabilistyczny sposób. W rzeczywistości przewidywania teorii kwantowej są niezwykle precyzyjne, mimo że zupełnie inne niż teorii klasycznej. Co więcej, wbrew utartej opinii, prawdopodobieństwo nie pojawia się w mechanice kwantowej na poziomie cząstek, atomów czy molekuł, które ewoluują w sposób całkowicie deterministyczny, lecz wskutek działającego w dużych skalach tajemniczego mechanizmu, który powoduje wyłanianie się świata klasycznego, będącego przedmiotem naszych codziennych, świadomych postrzeżeń.

Można by sądzić, że różnice między przewidywaniami teorii klasycznych i teorii kwantowej istnieją tylko na poziomie mikroskopowym, lecz w rzeczywistości efekty kwantowe przesądzają o wielu zjawiskach makroskopowych. Istnienie ciał stałych, fizyczne i chemiczne właściwości materiałów, barwy, zjawiska krzepnięcia i wrzenia, niezawodność mechanizmu dziedziczenia - wszystkie te i inne zjawiska byłyby niezrozumiałe bez mechaniki kwantowej (QM). Mechanika kwantowa jest wszechobecna nawet w życiu codziennym i leży u podstaw działania wielu nowoczesnych urządzeń technicznych, m.in. komputerów. Kwantowa teoria pola, będąca syntezą QM i szczególnej teorii względności umożliwia zrozumienie zachowania cząstek elementarnych, została potwierdzona doświadczalnie z niezwykłą dokładnością względną rzędu 10-11. Musimy więc zapoznać się z teorią kwantową - najdokładniejszą i najbardziej tajemniczą ze wszystkich teorii fizycznych. Tak tajemniczą, że jeden z wybitnych fizyków współczesnych, Sidney Coleman, powiedział, że gdyby tysiąc filozofów przez tysiąc lat rozważało, jaka jest natura przyrody, to czegoś tak dziwnego jak QM na pewno by nie wymyślili.
 
Być może rozwój nauki doprowadzi do głębszego zrozumienia przyrody niż umożliwia to teoria kwantowa. Wielu wybitnych uczonych uważa, że teoria kwantów jest teorią tymczasową, pod pewnymi istotnymi względami niezdolną do sformułowania obrazu świata, w którym żyjemy. Za bardzo konsekwentnego wyznawcę takiego poglądu uchodził również Albert Einstein, który odkrył m.in. kwantową naturę światła i był jednym z twórców teorii kwantów. Jednakże dziś już wiadomo, że modyfikacja podstaw mechaniki kwantowej jest przedsięwzięciem niezwykle trudnym. Równocześnie wiadomo, że prawa fizyki kwantowej obowiązują w ogromnym zakresie odległości, tzn. począwszy od niewyobrażalnie małych odległości, rzędu tzw. długości Plancka - 10^-33 cm (dla porównania, typowe rozmiary jąder atomowych są rzędu 10^-13 cm), aż do odległości kosmologicznych. Większość fizyków podziela pogląd, że prawa fizyki kwantowej załamują się, gdy usiłujemy opisywać procesy odbywające się w obszarach o typowych rozmiarach rzędu długości Plancka. Do procesów odbywających się w tak małych obszarach nie mamy niestety bezpośredniego dostępu eksperymentalnego i proponowane dlań modyfikacje QM mają obecnie charakter spekulacji teoretycznych. Można powiedzieć, że eksperyment nie nadąża za ideami - z tego powodu fizyka teoretyczna zajmująca się najbardziej fundamentalnymi procesami jest dotknięta znacznym kryzysem.
 
Poszczególni teoretycy mają często bardzo odmienne (prowadzące jednak do równoważnych wniosków doświadczalnych) poglądy na temat tego, czy obraz świata według teorii kwantowej odpowiada rzeczywistości. Wielu fizyków, wzorując się na poglądach Nielsa Bohra, który odegrał kluczową rolę w stworzeniu QM, skłonnych jest twierdzić, że obiektywny obraz przyrody nie istnieje, a na poziomie kwantowym nie ma żadnej gotowej rzeczywistości zewnętrznej w stosunku do obserwatora. Wszelkie zjawiska - podług ich wyobrażeń - stają się realne dopiero po wykonaniu pomiaru i otrzymaniu odpowiednich wyników. Zgodnie z tym stanowiskiem teoria kwantowa daje spójny zbiór procedur rachunkowych, nie dostarcza jednak obrazu świata takiego, jakim on jest. Zakrawa to na pogląd wielce pesymistyczny. Wobec tego przypisywanie stanom kwantowym obiektywnej realności fizycznej wydaje się bardziej twórcze, gdyż zmusza do wyobrażania przebiegu procesów fizycznych.
 
Stany opisujące układy kwantowe ewoluują w sposób całkowicie deterministyczny, określony przez ścisłe równanie zwane równaniem Schrödingera. Jednak w związku - między ewoluującym stanem kwantowym a rzeczywistym, obserwowanym zachowaniem układu fizycznego - jest coś bardzo tajemniczego. Mianowicie, od czasu do czasu, ilekroć uważamy, że nastąpił pomiar, musimy odrzucić stan kwantowy, którego ewolucję w czasie wyznaczaliśmy z dużym wysiłkiem, wykorzystując ten stan jedynie do obliczenia prawdopodobieństwa, że układ „przeskoczy” do pewnego nowego stanu należącego do zbioru stanów możliwych. Trudność polega tu nie tylko na zjawisku przeskoku, lecz również na rozstrzygnięciu, jakie konkretne cechy układu fizycznego określają czy „pomiar” istotnie miał miejsce. Aparat pomiarowy jest przecież również zbudowany z części zachowujących się w sposób zgodny z teorią kwantową, a zatem jego ewolucja powinna być opisana przez deterministyczne równanie Schrödingera. Ta niezdolność QM do jednoznacznego rozróżnienia obiektu kwantowego i makroskopowego przyrządu pomiarowego została przez uczonych nazwana paradoksem kota Schrödingera, gdyż Schrödinger pierwszy dostrzegł ten mankament QM i, chcąc zaszokować środowisko fizyków, zaproponował dowcipny eksperyment myślowy, w którym życie biednego kota zależy od zjawisk kwantowych w taki sposób, że znajduje się on w stanie będącym kwantową superpozycją kota żywego i martwego. Nikt jednak nigdy nie widział kota - z całą pewnością makroskopowego - częściowo żywego, a częściowo martwego.
 
Co więcej „przeskoki” kwantowe - mające miejsce podczas pomiaru dokonywanego na układzie kwantowym - prowadzą do dziwnych konsekwencji.
 
Na przykład wykonanie pomiaru w pewnym punkcie przestrzeni może spowodować natychmiastowy „przeskok” w dowolnie dalekim obszarze. Jest to typowa dla mechaniki kwantowej nielokalność, z którą w żaden sposób nie mógł się pogodzić Einstein, i którą nazywał on „tajemniczym działaniem na odległość”. Obecnie nie ma żadnych wątpliwości, że rzeczywiście taka nielokalność ma miejsce. Pewność, że tak jest, osiągnęliśmy przede wszystkim dzięki pracom teoretycznym Johna Bella i doświadczeniom wykonanym przez zespół fizyków kierowanych przez Alaina Aspecta.
 
Intrygujące jest również następujące zjawisko: jeśli pewien obiekt może osiągnąć dany stan końcowy dwiema różnymi drogami oddzielnie, wówczas zdarza się czasami, że gdy obie drogi są równocześnie otwarte, to znoszą się wzajemnie i obiekt nie może osiągnąć tego stanu końcowego wzdłuż żadnej z dróg. Opis stanów kwantowych różni się radykalnie od określenia stanów klasycznych. Nie można np. wykluczyć, że cząstka znajduje się w dwóch różnych miejscach równocześnie.
 

Doświadczenia i amplitudy prawdopodobieństwa. Eksperyment z dwiema szczelinami

Rozpatrzmy „wzorcowy” eksperyment kwantowy, w którym przepuszczamy wiązkę elektronów, światła lub innych „fal - cząstek” przez dwie wąskie, równoległe szczeliny i obserwujmy ich położenia na ekranie.
 

Rys. 1. Schemat eksperymentu z dwoma szczelinami. s - źródło fal - cząstek; 1, 2 szczeliny, E - ekran, x - wybrany punkt ekranu, w którym rejestrujemy cząstkę

Umówmy się, że będzie mowa o świetle. Kwanty światła nazywamy fotonami. Cząstkowa natura światła jest jaskrawo widoczna podczas detekcji fotonów na ekranie. Światło dociera do ekranu w postaci dyskretnych, zlokalizowanych paczek energii, przy czym ich energia jest zawsze związana z częstotliwością wzorem Plancka E = hν (=ω), h = (6.6) 10^-34 Js jest stałą uniwersalną noszącą nazwę stałej Plancka, = , ν jest częstotliwością fali świetlnej). Nigdy nie obserwujemy energii odpowiadającej „połowie” kwantu (lub jakiejkolwiek innej jego części). Detekcja światła nigdy nie jest stopniowalna; albo rejestrujemy cały kwant, albo nic. Zawsze obserwujemy całkowitą liczbę fotonów. Natomiast falowe cechy światła można obserwować podczas przechodzenia fotonów przez szczeliny. Przypuśćmy na początek, że otwarta jest jedna szczelina. Po przejściu przez nią wiązka światła rozszerza się wskutek dyfrakcji będącej typową cechą propagacji fal. Gdy otwarta jest jedna szczelina możemy bronić obrazu światła jako wiązki cząstek, sugerując, że fotony odchyliły się w przypadkowym kierunku wskutek oddziaływania z krawędzią szczeliny. Jeżeli natężenie światła przechodzącego przez szczelinę jest dostatecznie duże, to ekran jest oświetlony bardzo równomiernie. Jeśli jednak zmniejszymy natężenie światła, to można stwierdzić, że na oświetlenie ekranu składają się pojedyncze jasne plamki, pochodzące od poszczególnych fotonów. Pozornie równomierne oświetlenie ekranu jest efektem statystycznym związanym z ogromną liczbą rejestrowanych fotonów (przykładowo 60-watowa żarówka emituje 1020 fotonów na sekundę). Wydaje się, że tory fotonów przechodzących przez szczelinę ulegają przypadkowym ugięciom, przy czym prawdopodobieństwo ugięcia zależy od kąta ugięcia, co pozwala wyjaśnić obserwowany rozkład oświetlenia ekranu.
 
Stricte cząstkowa koncepcja światła ma jednak poważne kłopoty z wyjaśnieniem obserwowanego obrazu, gdy otwarte są obie szczeliny. Niech źródłem światła będzie lampa sodowa. Wówczas światło ma czysty, żółty kolor - mówimy, że jest monochromatyczne - tzn. składa się z fal o tej samej częstości. W obrazie cząstkowym oznacza to, że wszystkie fotony mają tę samą energię. Długość fal światła takiej lampy wynosi (5) 10^-5 cm (jest 1000 razy dłuższa od rozmiarów atomów). Niech szczeliny mają szerokość 10^-4 cm i niech będą oddalone od siebie o (1,5) 10^-2 cm, a ekran niech będzie w odległości 1 m od przegrody ze szczelinami. Jeśli natężenie światła jest dostatecznie duże, to oświetlenie ekranu pozostaje ciągłe, lecz nie jest wszędzie jednakowe. Na ekranie widać obraz interferencyjny, składający się z jasnych pasm leżących naprzemiennie z ciemnymi. Wydawałoby się, że otwarcie drugiej szczeliny spowoduje jedynie podwojenie oświetlenia ekranu. Szczegółowy obraz oświetlenia jest zupełnie inny aniżeli w momencie, gdy otwarta była tylko jedna szczelina. W pewnych miejscach na ekranie, tam gdzie jest najjaśniej, natężenie światła jest czterokrotnie większe niż poprzednio, a nie tylko dwukrotnie. W innych miejscach, tam gdzie jest najciemniej, natężenie maleje do zera. Pojawienie się ciemnych pasm na ekranie jest największą zagadką cząstkowej teorii światła. Gdy otwarta była jedna szczelina, fotony bez trudu docierały do tych punktów na ekranie. Teraz, gdy otworzyliśmy drugą szczelinę, okazuje się, że to uniemożliwia im zrobienie czegoś, co mogły zrobić przedtem. Jak to możliwe, że otwierając fotonom alternatywną drogę do punktów na ekranie, faktycznie zamknęliśmy obie drogi?
 
Jeśli przyjmiemy, że długość fali fotonu jest miarą jego „wielkości”, to szczeliny są oddalone od siebie na odległość równą trzystu „wielkościom” fotonu (dla nas byłaby to odległość 0,5 km), zaś każda szczelina ma szerokość równą kilku długościom fali. Skąd zatem, przelatując przez jedną szczelinę, foton „wie”, że druga szczelina jest otwarta czy zamknięta? W istocie z teoretycznego punktu widzenia nie ma żadnego ograniczenia na odległość między szczelinami; zjawisko wygaszania bądź wzmacniania światła nie zależy od tej odległości.
 
Przechodząc przez szczeliny (szczelinę) światło zachowuje się jak wiązka fal, nie zaś cząstek! Wygaszanie się fal, zwane interferencją destruktywną, jest dobrze znane w teorii zwykłych fal. Jeśli fala może się poruszać dwiema niezależnymi drogami i obie są rzeczywiście otwarte, to jest w pełni możliwe, że fale przechodzące obiema drogami wzajemnie się wygaszą. Gdy fale pochodzące od pierwszej szczeliny spotkają się z falami z drugiej, ulegają wzmocnieniu pod warunkiem, iż są „zgodne w fazie” (tzn.: gdy grzbiety i doliny obu fal występują zawsze razem). Jeśli natomiast grzbiety jednej fali pokrywają się z dolinami drugiej, wówczas fale zupełnie się wygaszają.
 

Rys. 2. Schemat eksperymentu z dwoma szczelinami, na którym zaznaczono czoła propagujących się fal. Natężenia fal w przypadku, gdy otwarta jest szczelina 1 - J1 albo szczelina 2 - J2 ; natężenia, gdy otwarte są obie szczeliny równocześnie zaznaczono na ekranie E

W eksperymencie z dwiema szczelinami jasne pasma na ekranie pojawiają się wtedy, gdy różnica odległości między danym punktem na ekranie a każdą ze szczelin jest równa całkowitej wielokrotności długości fali - w takim przypadku grzbiety obu fal rzeczywiście występują razem. Pasma ciemne pojawiają się dokładnie w połowie odległości między jasnymi pasmami. W tych miejscach maksima jednej fali pokrywają się z minimami drugiej.
 
Przejście zwyczajnej, klasycznej fali przez dwie szczeliny nie jest niczym zagadkowym. Taka fala jest bowiem zaburzeniem pewnego ciągłego ośrodka (pola) lub pewnej substancji zbudowanej z miliardów cząstek punktowych. Zaburzenie może przejść częściowo przez jedną z dwóch alternatywnych dróg, częściowo przez drugą. W QM mamy jednak do czynienia z zupełnie inną sytuacją. Każdy pojedynczy foton zachowuje się jak fala. W pewnym sensie każdy foton interferuje sam ze sobą! Zmniejszając dostatecznie natężenie światła, możemy zagwarantować, że w każdej chwili przez szczeliny przelatuje dokładnie jeden foton. Zjawisko destruktywnej interferencji, polegające na wzajemnym znoszeniu się alternatywnych dróg dostępnych dla fotonu, zachodzi dla pojedynczego fotonu. Jeśli otwarta jest tylko jedna droga, to foton może się przez nią przedostać - podobnie, gdy otwarta jest tylko druga droga. Natomiast gdy otwarte są obie szczeliny jednocześnie, to czasami obie możliwości, w tajemniczy sposób się znoszą i foton nie jest w stanie przelecieć wzdłuż żadnej z alternatywnych dróg. Zjawisko to jest zadziwiające, gdyż każda pojedyncza cząstka zachowuje się jak niezależna fala i alternatywne możliwości dostępne dla cząstki mogą się niekiedy wzajemnie znosić.
 
Wydaje się, że foton dzieli się na pół i że każda z połówek przelatuje przez jedną szczelinę. Nie można jednak zgodzić się z takim opisem sytuacji, należy raczej uznać, że obie alternatywne trajektorie - w tajemniczy sposób - dają wkład do wyniku końcowego, i że cząstka, aby przedostać się przez szczeliny, nie musi dzielić się na dwie części. Za takim stanowiskiem przemawia następująca argumentacja: umieśćmy obok jednej ze szczelin detektor cząstek. Ponieważ fotony lub inne cząstki zawsze obserwujemy w całości a nie w kawałkach, detektor zarejestruje albo cały foton albo nic. Gdy jednak przy jednej szczelinie umieścimy detektor, dzięki któremu obserwator może stwierdzić jednoznacznie, przez którą szczelinę przeleciał foton, wówczas obraz interferencyjny znika. Interferencja jest zatem możliwa tylko wtedy, gdy „nie wiemy” przez którą szczelinę istotnie przeleciał foton. Żeby mogła nastąpić interferencja, obie możliwe drogi muszą dawać wkład do oświetlenia ekranu. Ich wkłady czasami „sumują się” - co wzmacnia końcowy efekt dwa razy silniej niż można by było się spodziewać, czasami „odejmują się” - co powoduje ich wzajemne znoszenie się.
 
Naprawdę, zgodnie z QM sytuacja jest jeszcze bardziej niezwykła; wkłady od alternatywnych dróg mogą się sumować (najjaśniejsze punkty na ekranie), mogą się znosić (ciemne punkty), ale mogą również tworzyć inne dziwne kombinacje, na przykład:
 
„droga A” + i „droga B”, gdzie i² = -1,
 
które odpowiadają punktom na ekranie o średniej jasności. W rzeczywistości zamiast „i” możemy wziąć dowolną liczbę zespoloną i dodać do siebie wkłady od obu dróg, mnożąc jeden z nich przez tę liczbę. Liczby zespolone nie są jedynie eleganckim pomysłem matematyków, lecz mają podstawowe znaczenie dla struktury mechaniki kwantowej. Fizycy musieli zaakceptować ich użycie pod wpływem przekonujących danych doświadczalnych.
 
Chcąc pomóc czytelnikom, którzy nie znają liczb zespolonych, informuję, że dowolna liczba zespolona z jest określona przez podanie 2 liczb rzeczywistych x, y i zapisujemy ją w postaci z = x + iy - jest to tzw. algebraiczna postać liczby zespolonej. Liczby zespolone możemy dodawać i mnożyć zgodnie z regułami:
z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i(y₁ + y₂);z₁ z₂ = x₁ x₂ - y₁ y₂ + i(x₁ y2 + x₂ y₁) . Z dowolną liczbą zespoloną z możemy związać wektor na tzw. płaszczyźnie Gaussa.
 

Rys. 3 Graficzne przedstawienie liczb zespolonych na płaszczyźnie Gaussa

Dowolną liczbę zespoloną możemy także zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej
z = |z| (cos φ + i sin φ) , gdzie |z| = jest tzw. modułem liczby zespolonej, równym długości reprezentującego ją wektora, φ jest kątem między osią poziomą i wektorem reprezentującym liczbę zespoloną. Wykorzystując wzór Eulera, który Feynman nazwał perłą matematyki cosφ + isinφ = e^iφ, liczbę zespoloną z możemy przedstawić następująco: z = |z|e^iφ. Kąt nazywamy argumentem lub fazą liczby zespolonej. Liczba zespolona sprzężona jest zdefiniowana następująco z = x-iy = |z|e^-iφ.
 
Aby zrozumieć QM musimy przyzwyczaić się do tworzenia kombinacji liniowych (superpozycji), w których wkład każdego wyrazu jest „ważony” przez liczbę zespoloną.
 
Opisany eksperyment nie zależy od wyboru cząstek. Zamiast fotonów równie dobrze można użyć elektronów lub nawet całych atomów. Z reguł QM wynika, że nawet piłki tenisowe lub samochody powinny zachowywać się w taki dziwny sposób. Nawet dla takich obiektów powinno być możliwe utworzenie kombinacji wkładów odpowiadających różnym możliwościom, przy czym każdy wkład powinien wchodzić do sumy z pewną wagą wyrażoną przez liczbę zespoloną. W rzeczywistości nigdy nie obserwujemy piłek do tenisa lub samochodów w takich dziwnych kombinacjach stanów możliwych. Zagadnienie, czy istnieje rzeczywista granica między poziomem klasycznym i kwantowym, stanowi głęboki i intrygujący problem.
 
Dla uproszczenia przyjmijmy, że istnieją dwa różne poziomy opisu zjawisk fizycznych, mianowicie kwantowy i klasyczny. Dziwne kombinacje z zespolonymi współczynnikami (wagami) pojawiają się tylko na poziomie kwantowym, natomiast piłki do tenisa, planety etc., to obiekty należące do poziomu klasycznego.
 
Do poziomu kwantowego należą takie obiekty jak cząstki, atomy i molekuły. Zwykle sądzi się, że reguły kwantowe dotyczą zjawisk zachodzących w „małej (atomowej) skali”, lecz to określenie nie dotyczy w istocie fizycznych rozmiarów układu. Jak się okazuje, efekty kwantowe mogą się przejawiać nawet na odległość wielu metrów, a nawet lat świetlnych. Dane zjawisko należy do poziomu kwantowego wtedy, gdy istotną w nim rolę odgrywają bardzo małe różnice energii. Do poziomu klasycznego należą zjawiska makroskopowe, które bezpośrednio postrzegamy. Na tym poziomie słuszne są nasze wyobrażenia o tym, czy coś się zdarzyło, czy nie, dzięki czemu możemy się posługiwać zwykłym pojęciem prawdopodobieństwa. Liczby zespolone stosowane w QM mają ścisły związek z prawdopodobieństwami, lecz bynajmniej nie są im równe.
 
Przypomnijmy sobie teraz własności prawdopodobieństw klasycznych. Rozważmy mianowicie pewien układ klasyczny, którego stanu nie znamy i mamy do czynienia z niepewnością, tzn. nie wiemy, która z możliwości A i B odpowiada stanowi faktycznemu. Taką sytuację można opisać za pomocą „ważonej” kombinacji obu możliwości:
 
p(możliwość A) + q(możliwość B), gdzie p to prawdopodobieństwo stanu A, zaś q to prawdopodobieństwo stanu B.
 
(Prawdopodobieństwo określamy za pomocą liczby rzeczywistej leżącej między 0 a 1. Prawdopodobieństwo równe jeden oznacza, że dane wydarzenie jest pewne, a równe zeru - że jest niemożliwe. Prawdopodobieństwo równe 1/2 oznacza, że dane wydarzenie równie dobrze może się zdarzyć jak i nie zdarzyć.) Jeśli układ może się znajdować tylko w stanie A lub B, to suma tych dwóch prawdopodobieństw musi być równa jedności: p + q = 1. Jeśli jednak istnieją inne możliwości, to suma p i q może być mniejsza od jedności.
 
W fizyce kwantowej postępujemy na pozór bardzo podobnie, z tą różnicą, że p i q zastępujemy liczbami zespolonymi, które oznaczymy przez w i z. Teraz mamy:
 
w(możliwość A) + z(możliwość B).
 
(Na poziomie kwantowym możliwości, stany, oznaczamy symbolem wprowadzonym przez P.A.M. Diraca i nazywamy „ketami”, przykładowo: napis |B oznacza stan B pewnego układu, wewnątrz nawiasu umieszczamy wielkości charakteryzujące stan). Jak należy interpretować w i z? Na pewno nie są to zwyczajne prawdopodobieństwa, gdyż mogą to być liczby ujemne lub zespolone, ale mimo to pod wieloma względami przypominają klasyczne prawdopodobieństwa. Nazywamy je, o ile są odpowiednio znormalizowane, amplitudami prawdopodobieństwa lub po prostu amplitudami. Często używamy tego terminu tak, jakby była mowa o prawdopodobieństwie, mianowicie mówimy „amplituda, że zdarzy się A, wynosi w, zaś, że zdarzy się B wynosi z”. Amplitudy to w rzeczywistości coś innego niż prawdopodobieństwa, można je jednak traktować jak kwantowy odpowiednik prawdopodobieństwa.
 
Zastanówmy się, jak postępujemy ze zwykłymi prawdopodobieństwami. Wyobraźmy sobie, na przykład, obiekt makroskopowy, niech to będzie metalowa kulka, poruszający się w stronę przegrody z dwoma otworami, za którą znajduje się ekran, podobnie jak w eksperymencie z dwoma szczelinami (rys. 1). Zamiast fotonu mamy teraz metalową kulkę, czyli obiekt klasyczny. Istnieje pewne prawdopodobieństwo P(1, s), że kulka osiągnie górny otwór 1 po tym, jak wystartowała w punkcie s, oraz pewne prawdopodobieństwo P(2, s), że trafi do dolnego otworu. Dla dowolnego punktu x na ekranie określone jest również prawdopodobieństwo P(x, 1), iż jeśli kulka trafiła do górnego otworu, to dotrze do punktu x, oraz prawdopodobieństwo P(x, 2), że trafi tam z dolnego otworu. Jeśli otwarty jest tylko górny otwór, to prawdopodobieństwo, że kulka dotrze do punktu x przelatując przez 1 po tym jak  wystartowała w punkcie  s jest  równe P(x, 1)P(1, s). Podobnie, jeśli jest otwarty tylko dolny otwór, to prawdopodobieństwo, że kulka przedostanie się z s do x wynosi P(x, 2)P(2, s). Jeśli otwarte są oba otwory, to prawdopodobieństwo, że kulka przeleci z s do x przez 1, jest wciąż równe P(x,1)P(1,s).
 
Tak samo jak wtedy, gdy otwarty był tylko górny otwór, zaś prawdopodobieństwo, że przeleci z s do x przez 2, pozostaje równe P(x, 2)P(2, s). Wobec tego całkowite prawdopodobieństwo P(x, s), że kulka przeleci z s do x jest równe sumie tych prawdopodobieństw:
 
P(x, s) = P(x, 1)P(1, s) + P(x, 2)P(2, s).
 
Na poziomie kwantowym obowiązują te same reguły, przy czym należy uwzględnić, że zamiast prawdopodobieństw musimy posłużyć się owymi dziwnymi, zespolonymi amplitudami. Zatem w rozważanym powyżej eksperymencie z dwiema szczelinami mamy amplitudę A(1, s), że foton wyemitowany ze źródła s przeleci przez szczelinę 1, oraz amplitudę A(x, 1), że trafi następnie do punktu x na ekranie. (W oznaczeniach Diraca - Feynmana amplitudy te zaznaczamy odpowiednio 1|s oraz x|1.) Mnożąc amplitudy, dostajemy amplitudę, że foton osiągnie punkt x przez szczelinę 1: A(x, 1)A(1, s). Podobnie jak w przypadku klasycznym jest to poprawna amplituda, niezależnie od tego, czy dolna szczelina jest otwarta, czy nie. Analogicznie - jeśli otwarta jest dolna    szczelina, mamy    amplitudę,  że foton  dotrze do x  przez  2: A(x, 2)A(2, s), niezależnie od tego czy otwarta jest górna szczelina. Jeśli otwarte są obie szczeliny, to całkowita amplituda jest równa sumie amplitud: A(x, s) = A(x,1)A(1,s) + A(x,2)A(2,s) lub w oznaczeniach Diraca-Feynmana:
 
x|s = x|11|s + x|22|s.
 
Są to miłe i bardzo proste reguły, lecz aby można było z nich korzystać, musimy wiedzieć, jak interpretować amplitudy, gdy zjawisko kwantowe ulega wzmocnieniu na tyle, że przejawia się ono na poziomie klasycznym. Możemy na przykład umieścić w x fotokomórkę, która pozwoli nam wzmocnić efekt kwantowy - przybycie fotonu do punktu x - tak, że zdarzenie to stanie się dostrzegalne klasycznie, usłyszymy mianowicie trzask fotokomórki. Musimy znać prawdopodobieństwo, że rozlegnie się trzask, a nie tylko tajemniczą amplitudę. Jak zatem można, przy przejściu od poziomu kwantowego do klasycznego, jednocześnie przejść od amplitud do prawdopodobieństw? Jak się okazuje rządzi tym piękna, choć tajemnicza reguła, którą zaproponował Max Born. Reguła ta ustala, że w celu otrzymania klasycznego prawdopodobieństwa należy obliczyć kwadrat modułu odpowiedniej zespolonej amplitudy kwantowej.
 
Powiedzmy, że mamy do czynienia ze stanem układu |ψ = w|A + z|B, przy czym |w|²+|z|²1, wówczas w i z są tylko proporcjonalne do amplitud prawdopodobieństwa, że układ będący w stanie |ψ jest w stanie |A lub |B odpowiednio, wówczas stosunek prawdopodobieństwa, że ten układ jest w stanie |A do prawdopodobieństwa, że jest w stanie |B, wynosi  . Jeśli w i z mają być prawdziwymi amplitudami prawdopodobieństwa, to muszą spełniać warunek unormowania: |w|² + |z|² = 1. Jeśli w i z nie są unormowane, to prawdziwe amplitudy zdarzeń (stanów) A lub B wynoszą odpowiednio:
 

 
Widzimy, że amplituda prawdopodobieństwa nie jest równa prawdopodobieństwu, lecz stanowi coś w rodzaju „zespolonego pierwiastka kwadratowego” z prawdopodobieństwa. Zobaczymy teraz jakie to ma znaczenie, gdy efekty z poziomu kwantowego zostają wzmocnione i przejawiają się na poziomie klasycznym.
 
Amplitudami prawdopodobieństwa możemy manipulować, mnożąc je i dodając do siebie. Zauważmy, że mnożenie nie powoduje żadnych trudności przy przejściu od amplitud do prawdopodobieństw, gdyż kwadrat modułu iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi kwadratów modułów tych liczb: |zw|² = |z|²|w². Wynika stąd, że jeżeli cząstka ma do dyspozycji tylko jedną drogę, na przykład, jeśli - w naszym eksperymencie - jest otwarta tylko jedna szczelina 1, to można rozumować w sposób klasyczny i otrzymać poprawne prawdopodobieństwo zarejestrowania cząstki. Możemy teraz obliczyć kwadrat modułu amplitudy, albo po kolei, albo na końcu: |x|1|²||1|s|² = |x|11|s|² i za każdym razem otrzymujemy takie samo prawdopodobieństwo. Jeśli jednak istnieje wiele możliwych dróg (na przykład obie szczeliny są otwarte), to musimy obliczyć sumę amplitud i właśnie w tym momencie pojawiają się charakterystyczne cechy QM. Kwadrat modułu sumy dwóch liczb zespolonych w + z na ogół nie jest równy sumie kwadratów modułów obliczonych oddzielnie; pojawia się jeszcze dodatkowy wyraz:
 
|w + z| = (w + z) ( + ) = |w|² + |z|² + w + z = |w|² + |z|² + 2|w||z|cos φ,
 
gdzie oznacza liczbę sprzężoną w sensie zespolonym z liczbą w, φ jest kątem wyznaczonym przez punkty w, z i początek układu na płaszczyźnie zespolonej Gaussa.
 
Ten właśnie dodatkowy człon 2|w||z|cosφ powoduje kwantową interferencję między amplitudami odpowiadającymi różnym możliwym drogom. Cosinus może się zmieniać od -1 do 1. Jeśli φ = 0, to cosφ = 1, i dwie amplitudy wzmacniają się tak, że całkowite prawdopodobieństwo jest większe niż suma oddzielnych prawdopodobieństw. Natomiast gdy φ = π, to cosφ = -1 i dwie amplitudy częściowo się znoszą, wskutek czego całkowite prawdopodobieństwo jest mniejsze niż suma oddzielnych prawdopodobieństw (interferencja destruktywna).
 
Kiedy φ = , cosφ = 0, i otrzymamy sytuację pośrednią, w której całkowite prawdopodobieństwo jest równe sumie prawdopodobieństw dla poszczególnych dróg. W dużych i skomplikowanych układach wyrazy poprawkowe na ogół „uśredniają się do zera”, ponieważ „średnia” wartość cosinusa jest równa zeru. Wtedy słuszne są zwykłe reguły dodawania prawdopodobieństw. Jednak na poziomie kwantowym wyrazy te opisują ważne efekty interferencyjne.
 
Wyobraźmy sobie pojedynczą cząstkę, taką jak elektron. Z klasycznego punktu widzenia elektron może znajdować się w punkcie A albo w punkcie B. Zgodnie z QM elektron ma wiele innych możliwości. Elektron nie tylko może mieć takie bądź inne określone położenie, ale również może znajdować się w jednym z bardzo wielu stanów, w których w pewnym dobrze określonym sensie - znajduje się równocześnie w obu położeniach!
 
Oznaczmy |A stan, w którym elektron znajduje się w położeniu A, a|B stan, w którym elektron znajduje się w położeniu B. Zgodnie z QM elektron może znajdować się w dowolnym stanie postaci w|A + z|B, gdzie współczynniki (wagi) w i z to liczby zespolone (przynajmniej jedna musi być różna od zera). Korzystając z normalnego języka nie możemy powiedzieć co to oznacza, że elektron znajduje się w stanie superpozycji dwóch stanów, z których każdy opisuje elektron w określonym położeniu. Musimy tymczasowo po prostu przyjąć, że taki sposób opisu układów z poziomu kwantowego jest konieczny. Takie superpozycje stanowią ważny element budowy mikroświata, o czym wiemy z doświadczeń. Jest faktem, że świat na poziomie kwantowym zachowuje się w niezwykły i tajemniczy sposób.
 
Rozważmy dokładniej sytuację występującą w naszym eksperymencie. Z symetrii problemu wynika, że amplitudy prawdopodobieństwa 1|s i 2|s są równe, natomiast z reguły de Broglie'a wynika, że amplitudy x|1 oraz x|2 są następujące:
 

, gdzie L1, L2

oznaczają odległości punktu x na ekranie od szczeliny 1 i 2 odpowiednio, p jest pędem fotonu związanym z długością fali λ wzorem de Broglie'a λ = . Zatem prawdopodobieństwo, że foton dotrze do punktu x na ekranie przy otwartych obydwu szczelinach jest proporcjonalne do:
 

 
Wzór ten pokazuje, że fotony docierają z maksymalnym prawdopodobieństwem do tych punktów ekranu, dla których L2 - L1 = nλ, gdzie n jest liczba całkowitą. Widać z niego również, że gdy otwarte są obydwie szczeliny, prawdopodobieństwo, że foton dotrze do najjaśniejszego punktu ekranu, jest cztery razy większe niż wtedy, gdy otwarta jest tylko jedna szczelina, a zatem jeśli mamy bardzo dużo fotonów, to natężenie oświetlenia w tym punkcie wzrasta czterokrotnie, co zgadza się z obserwacjami.
 
Podkreślmy: aby interferencja była możliwa, musimy być pewni, że przejście fotonu przez szczeliny pozostaje zjawiskiem z poziomu kwantowego. Na poziomie kwantowym rozmaitym możliwym drogom odpowiadają amplitudy, nie prawdopodobieństwa.
 
Zadaniem teorii kwantowej jest wyznaczanie amplitud prawdopodobieństwa dla różnych zjawisk kwantowych oraz sformułowanie spójnych reguł, mówiących jak należy manipulować tymi amplitudami, aby otrzymać poprawne wyniki.
 
W części drugiej omówimy kwantowanie energii prostego układu kwantowego, nieredukowalną losowość zjawisk kwantowych i kwantowe widzenie w ciemności. W części trzeciej przedstawimy ogólne zasady rządzące amplitudami prawdopodobieństwa oraz schemat działania niezwykle obiecującego urządzenia, jakim jest komputer kwantowy.
 

Literatura:
R. P. Feynman, R. B. M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, tom III: Mechanika kwantowa, Warszawa 1974.
R. P. Feynman, QED osobliwa teoria światła i materii, 1992.
G. J. Milburn, Inżynieria kwantowa, Warszawa 1999.
G. J. Milburn, Procesor Feynmana, Warszawa 2000.
R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Warszawa, 1997.
R. Penrose, Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawach fizyki, Warszawa 1995.
R. Penrose, Cienie umysłu. Poszukiwanie naukowej teorii świadomości, Poznań 2000.
I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, wyd. 4 popr. i zm., Warszawa 2001.
Duch w atomie. Dyskusja o paradoksach teorii kwantowej w opracowaniu P.C.W. Daviesa i J.R. Browna, Warszawa 1996.
I. Prigogine, Kres pewności. Czas, chaos i nowe prawa natury, Warszawa 2000.
G. Zukav, Tańczący mistrzowie Wu Li. Spojrzenie na nową fizykę, Poznań 1995.
I. W. Tarassow, Podstawy mechaniki kwantowej, Warszawa 1984.
J. J. Sławianowski, Przyczynowoścć w mechanice kwantowej, Warszawa 1969.
T. Bigaj, Kwanty, liczby, abstrakty. Eseje popularne z filozofii nauki, Warszawa 2002.

Jerzy Szczęsny