J. Chmieliński, Natura, wyobraźnia i liczby

Książka, którą czytam

Jacek Chmieliński

Natura, wyobraźnia i liczby

"Wyobraźmy sobie drzewo o wysokości od dwunastu do czternastu metrów, ze świetlikiem na każdym liściu, a wszystkie te robaczki świętojańskie błyskają jednocześnie światłem z częstością około trzech razy na dwie sekundy. Pomiędzy błyskami drzewo jest całkowicie ciemne. Wyobraźmy sobie sto pięćdziesiąt metrów brzegu rzeki z nieprzerwaną linią drzew mangrowych, ze świetlikami na każdym liściu świecącymi synchronicznie, gdy owady na drzewach znajdujących się na końcach działają idealnie zgodnie z owadami z drzew środkowych"

Tak w 1935 roku biolog Hugh Smith opisywał zjawisko występujące w Azji Południowo-Wschodniej. Błysk pojedynczego robaczka to wynik zachodzącego w jego organizmie cyklu chemicznego. Jaka jest jednak przyczyna tak perfekcyjnej synchronizacji wszystkich błysków? Wbrew pozorom, to nie biologia udziela odpowiedzi na to pytanie. Robaczki oddziałują na siebie wzajemnie poprzez błyski. Błysk jest jedynym oddziaływaniem na sąsiadów. Mamy do czynienia z modelem działających na siebie "oscylatorów". I okazuje się, że w takim modelu, niezależnie od warunków początkowych, po pewnym czasie musi nastąpić "zblokowanie", polegające na tym, że oscylatory będą od tego momentu pozostawać w tej samej fazie. Wykazanie, że synchroniczność jest regułą dla oddziaływających na siebie oscylatorów to wynik stosunkowo niedawnych (z 1990 roku) badań dwóch matematyków. Być może jest to zadziwiające, ale matematyka może rozjaśnić wiele aspektów przyrody, których zwykle nie uważamy za matematyczne.

Czy można zachęcać do poznawania matematyki? Tak, jak się zachęca do przeczytania tomiku wierszy, próbując zainteresować nie tylko osoby zawodowo poświęcające się poezji. Krzywdą dla własnego rozwoju byłoby wzbranianie się przed wartościami humanistycznymi. Jeśli nawet umykają nam one, to przynajmniej odczuwamy to jako stratę. Wydaje się jednak, że nasze społeczeństwo wzbrania się przed matematyką. Wiele osób gotowych jest nie tylko publicznie przyznać się do jej niezrozumienia, ale też i wykazać przy tym absolutny brak zmartwienia tym faktem. Kto przyzna, że nie rozumie, jaka jest różnica między literą a głoską? Mylenie cyfry z liczbą jest za to powszechną manierą. Deklarowanie ignorancji w sprawach matematyki świadczyć ma bowiem o przynależności do lepszej, rzekomo bardziej wrażliwej, kategorii społecznej. Nie pojmuję podstawowych reguł matematycznych, więc jestem humanistą. To dość typowe rozumowanie. Rozumowanie, które pewnie szokowałoby w innych społeczeństwach, i to tych, w których wspaniała kultura i głęboki humanizm idzie w parze z postępem i rozwojem gospodarczym. Całkiem niedawno pomysł przywrócenia obowiązkowego sprawdzania wiedzy matematycznej na egzaminie dojrzałości (i to na elementarnym, gimnazjalnym poziomie) nazwano "niepotrzebnym katowaniem humanistów". Czy naprawdę "humanista" nie powinien mącić sobie myśli żadnym logicznym wywodem, wyciąganiem wniosków z przyjętych założeń i obserwowaniem następstw zmian tych założeń? Humanizm jako synonim pewnych niedostatków intelektualnych? Myślę, że to obraża humanistów. Oczywiście, trudno namawiać każdego do studiowania matematyki. Warto jednak uświadomić sobie, jak bardzo jest ona obecna, i przydatna, w naszym życiu.

Matematyka jest hermetyczna. Opisuje obiekty istniejące jedynie w wyobraźni matematyków. By móc o nich mówić, trzeba je określić, zdefiniować. Ale wcześniej trzeba ustalić język porozumiewania się, sposób opisu, symbolikę. To wymaga dużego wysiłku i czasu. Bez tego nie da się jednak przebrnąć przez żaden tekst matematyczny. Nie da się wejść w świat matematyki. Symbole matematyczne, a szczególnie liczby, znaki działań algebraicznych, pewne stałe matematyczne (jak p) niezawodnie skojarzą się każdemu z matematyką. "Matematycy muszą odwoływać się do owej symboliki, aby opisać swój świat - nawet między sobą. Symbole nie są jednak tym światem, tak jak nuty nie są muzyką".

Wróćmy do pytania o możliwość zachęcania do poznawania matematyki. Także jej współczesnych osiągnięć i to mimo wspomnianej hermetyczności. Angielski matematyk Ian Stewart należy do bardzo wąskiego grona ludzi, którzy nie tylko znają się na współczesnej matematyce, ale i potrafią o niej pisać. I nie chodzi tu o pisanie monografii poświęconych danej dziedzinie matematyki, fascynujących dla tych, którzy się nią interesują, a nieczytelnych nie tylko dla niematematyków, ale i dla przedstawicieli innych matematycznych dyscyplin. Stewart jest cenionym popularyzatorem nauki, współpracuje z czasopismami "Scientific American", "New Scientist", "Nature", wydaje książki. Część jego dorobku przetłumaczono na język polski. Artykuły Stewarta znaleźć można np. w "Świecie Nauki", a dużą popularnością cieszyła się jego książka Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu. Książka, która skłania mnie do tych refleksji, i z której pochodzą cytaty, nosi tytuł Liczby natury, rozszerzony w oryginale o podtytuł Nierealna rzeczywistość wyobraźni matematycznej.

Pojawiające się w tytule liczby są synonimem matematyki. Podobnie jak kształty geometryczne - te jednak również można opisać przy pomocy liczb. Tytuł o tyle jasny, że zdecydowanej większości ludzi matematyka kojarzy się z rachunkami, z odpowiadaniem na pytanie: ile? Dlatego być może zdziwi stwierdzenie, że "liczba jest tylko jedną z ogromnej rozmaitości jakości matematycznych". Współczesna matematyka kładzie nacisk na ogólne zasady i struktury - "ilościowe jest jedynie zubożonym jakościowym". Ta ostatnia sentencja zwraca uwagę również dlatego, że jest świadomym odwróceniem maksymy Ernesta Rutherforda. Wielki fizyk twierdził, że to jakościowe jest zubożonym ilościowym - Stewart nie waha się stwierdzić, że takie podejście "nie ma już większego sensu".

Matematyka jest w otaczającym nas świecie. Pojawia się, gdy chcemy wyjaśnić najprostsze obserwacje. Kiedy, jak małe dzieci, zadajemy pytanie: dlaczego? Dlaczego znalezienie czterolistnej koniczynki jest oznaką szczęścia? Bo jest rzadkim wyjątkiem; dużo łatwiej o trójlistną lub pięciolistną. Większość kwiatów ma po 3, 5, 8, 13, 21 płatków, stokrotka ma ich zazwyczaj 34, 55 lub 89. Patrząc na kwiat słonecznika zauważymy przecinające się dwie rodziny spiral: 34 spirale prawoskrętne i 55 lewoskrętnych (może być też, odpowiednio, 55 i 89 lub 89 i 144). Łuski ananasa układają się w rzędy pochylone w lewo i prawo; w jednym jest 8 łusek, w drugim 13. Zauważmy, że pojawiający się ciąg liczb: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 itd. ma tę charakteryzującą go własność, że każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich. Dodajmy jeszcze, że ten ciąg pojawił się ok. 1200 roku u Leonarda Fibonacciego w jego badaniach nad wzrostem populacji królików. Stawiajmy dalsze pytania: dlaczego ślimaki mają muszle o spiralnych kształtach, jak zmieniać się będzie liczebność lisów i królików żyjących w jednym lesie i dlaczego tygrysy mają prążki, a lamparty plamki? Jeśli te pytania wydają się zbyt dziecinne, można zadawać bardziej poważne: po jakich torach krążą planety, dlaczego tak trudno przewidzieć pogodę, dlaczego serce, złożone z milionów niezależnych włókien, bije rytmicznie i dlaczego zdarzają się ataki serca? W odpowiedziach na te pytania, w dalece niebanalnych wyjaśnieniach tak nieraz pięknie prostych zależności, pojawia się matematyka. To ona ostatecznie wyjaśnia, dlaczego tak być musi. Obserwując wzrost rośliny zaobserwowano, że zawiązki, z których później powstają np. płatki, liście czy łuski, pojawiają się wzdłuż pewnej spirali. Kąt między kolejnymi zawiązkami jest taki sam (w przybliżeniu 137,5 stopnia) i jest on związany z pewną liczbą niewymierną, znaną od starożytności jako złota liczba. Stwierdzić można, że takie pojawianie się zawiązków gwarantuje ich "najlepsze upakowanie" oraz, w konsekwencji, wspomnianą liczebność płatków i łusek. Ostatnie zdanie w tej historii dopisali dwaj fizycy teoretyczni, którzy (w 1994 roku) przy pomocy stworzonej przez siebie teorii dyna-miki wzrostu wykazali, że pojawiający się złoty kąt nie jest "zapisany w genach" rośliny, ale jest wyłączną konsekwencją tejże dynamiki.

Żyjemy w świecie matematycznym. Myślę o świecie zastanym, o przyrodzie na naszej planecie i o tym, co wokół niej, ale także o świecie, który tworzymy sami. Brzmienie skrzypiec jest wynikiem wirtuozerii artysty, ale i konsekwencją praw, którym musi się poddać poruszona struna. Badania nad drgającą struną to dość odległa historia. Z biegiem czasu zaowocowały one zrozumieniem bardziej subtelnych drgań. Dlatego mamy radary na lotniskach i telewizory w domach. "Matematyka odsłania prostotę w przyrodzie i pozwala nam na uogólnienia, prowadzące od prostych przykładów do złożoności rzeczywistego świata".

Istotą matematyki jest weryfikowalność. Odpowiednio przygotowany czytelnik tekstu matematycznego jest w stanie przekonać się do głoszonych przez autora tez. Nie ze względu na szacunek, jakim może darzyć autora, ale ze względu na zaprezentowane przez niego wnioskowanie. Postawiona hipoteza nie jest faktem matematycznym, póki nie można jej udowodnić lub obalić wskazując odpowiedni kontrprzykład. "Dowody wiążą tkaninę matematyki, a gdy choć jedna nitka jest słaba, cała tkanina może się rozejść". Uczenie w szkole o związku między kwadratami długości boków trójkąta nie jest wpajaniem "jedynie słusznego" poglądu głoszonego przez matematyków od czasów Pitagorasa. Kiedy uczeń poznaje dowód tego twierdzenia, może mieć wspaniałe poczucie odkrycia pewnej prawdy obiektywnej. Prawdy, której może sam bronić. Z drugiej strony, budując trójkąt z patyczków o długości 2, 3 i 4 uczeń przekonuje się, że założenie o prostokątności trójkąta jest istotne; bez jego spełnienia teza twierdzenia nie jest prawdziwa. W matematyce liczą się nawet małe wyjątki. "Gdy uznaliście za fakt, że wszystkie liczby zachowują się w określony sposób, a istnieje jedna, która tak nie robi, to nie macie racji i wszystko to, co zbudowaliście na podstawie tego nieprawidłowego faktu, budzi wątpliwości". Zróbmy teraz eksperyment. Rozważmy nieskończony ciąg liczb pierwszych (czyli takich, które bez reszty dzielą się przez siebie i przez 1). Żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 4, zatem dzieląc ją przez 4 otrzymamy resztę równą 1, 2 lub 3. Reszta równa 2 oznaczałaby, że mamy do czynienia z liczbą parzystą, a więc (z wyjątkiem liczby 2) złożoną (czyli nie-pierwszą). A zatem, dzieląc liczby pierwsze przez 4 otrzymamy jako resztę 1 lub 3. Których liczb jest więcej? Gdybyśmy wykonali eksperyment, używając do tego kartki papieru, kalkulatora, a nawet superszybkiego komputera, i przetestowali "bardzo dużo" kolejnych liczb pierwszych, to okaże się, że tych dających resztę 1 jest znacznie więcej. Może to skłonić do postawienia tezy, że jest tak zawsze, dla dowolnie wielu kolejnych liczb pierwszych. Ale samo doświadczenie nie upoważnia nas do uznania prawdziwości takiej tezy. Co więcej, jest ona nieprawdziwa! Teoria liczb dostarcza argumentów na to, że jeśli liczb pierwszych rozpatrzymy "odpowiednio dużo", to tych dających resztę 3 będzie więcej. Skąd ta sprzeczność z doświadczeniem? Stąd, że owa "odpowiednio duża" liczba gwarantująca poprawność dowodu nie jest osiągalna w żadnym eksperymencie. Gdyby jedną cyfrę występującą w zapisie tej liczby umieścić na jednym elektronie, to i tak nie starczyłoby do jej zapisu całej materii wszechświata.

Książka Iana Stewarta nie jest książką matematyczną. Nie pojawia się w niej żaden wzór czy nawet symbol matematyczny (jeśli pominąć parę liczb), nie śledzimy dowodów. Jest opowieścią o matematyce, opowieścią adresowaną do każdego czytelnika. Oczywiście, ta blisko dwustustronicowa książeczka nie wyjaśni nam w pełni przyczyn otaczających nas zjawisk, może jednak przybliżyć wiedzę o tym, czym jest i do czego może służyć współczesna matematyka.

"Żyjemy w świecie głęboko matematycznym, lecz tam, gdzie to jest możliwe, matematyka jest świadomie ukrywana, by uczynić nasz świat <<przyjaznym dla użytkowników>>. Pewne idee matematyczne są jednak tak podstawowe, że nie można ich ukryć".

Jacek Chmieliński

Ian Stewart, Liczby natury, w serii: "Science Masters", Warszawa 1996.